Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79837 / 83126
↖ ↑ ↗
← S 43.432977°
E 39.278870°		 ← 221.79 m → S 43.432977°
E 39.281616°		 →
↑
221.77 m
↓
↑
221.77 m
↓
S 43.434971°
E 39.278870°		 ← 221.79 m →
49 187 m²		 S 43.434971°
E 39.281616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609111785888672 y=0.634204864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609111785888672 × 217)
    floor (0.609111785888672 × 131072)
    floor (79837.5)     		tx = 79837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634204864501953 × 217)
    floor (0.634204864501953 × 131072)
    floor (83126.5)     		ty = 83126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79837 / 83126 ti = "17/79837/83126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79837/83126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79837 ÷ 217
    79837 ÷ 131072     		x = 0.609107971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83126 ÷ 217
    83126 ÷ 131072     		y = 0.634201049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609107971191406 × 2 - 1) × π
    0.218215942382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.68554560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634201049804688 × 2 - 1) × π
    -0.268402099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.843210064316788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68554560} λ = 0.68554560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843210064316788))-π/2
    2×atan(0.430326926787849)-π/2
    2×0.406373936448273-π/2
    0.812747872896546-1.57079632675     		φ = -0.75804845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68554560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.278870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75804845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.432977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79837 KachelY 83126 0.68554560 -0.75804845 39.278870 -43.432977
    Oben rechts KachelX + 1 79838 KachelY 83126 0.68559354 -0.75804845 39.281616 -43.432977
    Unten links KachelX 79837 KachelY + 1 83127 0.68554560 -0.75808326 39.278870 -43.434971
    Unten rechts KachelX + 1 79838 KachelY + 1 83127 0.68559354 -0.75808326 39.281616 -43.434971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75804845--0.75808326) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dl = 221.77451000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75804845--0.75808326) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dr = 221.77451000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68554560-0.68559354) × cos(-0.75804845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.726179094247986 × 6371000     		do = 221.793787233076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68554560-0.68559354) × cos(-0.75808326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.726155161738769 × 6371000     		du = 221.786477628738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75804845)-sin(-0.75808326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726179094247986-0.726155161738769)×R²
    abs(0.68559354-0.68554560)×2.39325092176168e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39325092176168e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39325092176168e-05×40589641000000     		ar = 49187.3979478621m²