Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79837 / 82869
↖ ↑ ↗
← S 42.918218°
E 39.278870°		 ← 223.67 m → S 42.918218°
E 39.281616°		 →
↑
223.69 m
↓
↑
223.69 m
↓
S 42.920229°
E 39.278870°		 ← 223.66 m →
50 031 m²		 S 42.920229°
E 39.281616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609111785888672 y=0.632244110107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609111785888672 × 217)
    floor (0.609111785888672 × 131072)
    floor (79837.5)     		tx = 79837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632244110107422 × 217)
    floor (0.632244110107422 × 131072)
    floor (82869.5)     		ty = 82869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79837 / 82869 ti = "17/79837/82869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79837/82869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79837 ÷ 217
    79837 ÷ 131072     		x = 0.609107971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82869 ÷ 217
    82869 ÷ 131072     		y = 0.632240295410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609107971191406 × 2 - 1) × π
    0.218215942382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.68554560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632240295410156 × 2 - 1) × π
    -0.264480590820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.830890281114433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68554560} λ = 0.68554560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830890281114433))-π/2
    2×atan(0.435661252632124)-π/2
    2×0.410866057984793-π/2
    0.821732115969586-1.57079632675     		φ = -0.74906421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68554560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.278870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74906421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.918218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79837 KachelY 82869 0.68554560 -0.74906421 39.278870 -42.918218
    Oben rechts KachelX + 1 79838 KachelY 82869 0.68559354 -0.74906421 39.281616 -42.918218
    Unten links KachelX 79837 KachelY + 1 82870 0.68554560 -0.74909932 39.278870 -42.920229
    Unten rechts KachelX + 1 79838 KachelY + 1 82870 0.68559354 -0.74909932 39.281616 -42.920229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74906421--0.74909932) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dl = 223.685810000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74906421--0.74909932) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dr = 223.685810000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68554560-0.68559354) × cos(-0.74906421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.732326419144948 × 6371000     		do = 223.671338488749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68554560-0.68559354) × cos(-0.74909932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.732302510407257 × 6371000     		du = 223.664036144848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74906421)-sin(-0.74909932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732326419144948-0.732302510407257)×R²
    abs(0.68559354-0.68554560)×2.39087376908698e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39087376908698e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39087376908698e-05×40589641000000     		ar = 50031.2878134679m²