Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79836 / 83119
↖ ↑ ↗
← S 43.419014°
E 39.276123°		 ← 221.84 m → S 43.419014°
E 39.278870°		 →
↑
221.84 m
↓
↑
221.84 m
↓
S 43.421009°
E 39.276123°		 ← 221.84 m →
49 213 m²		 S 43.421009°
E 39.278870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609104156494141 y=0.634151458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609104156494141 × 217)
    floor (0.609104156494141 × 131072)
    floor (79836.5)     		tx = 79836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634151458740234 × 217)
    floor (0.634151458740234 × 131072)
    floor (83119.5)     		ty = 83119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79836 / 83119 ti = "17/79836/83119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79836/83119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79836 ÷ 217
    79836 ÷ 131072     		x = 0.609100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83119 ÷ 217
    83119 ÷ 131072     		y = 0.634147644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609100341796875 × 2 - 1) × π
    0.21820068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68549766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634147644042969 × 2 - 1) × π
    -0.268295288085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.842874506019447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68549766} λ = 0.68549766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842874506019447))-π/2
    2×atan(0.430471350788682)-π/2
    2×0.406495788211783-π/2
    0.812991576423567-1.57079632675     		φ = -0.75780475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68549766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.276123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75780475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.419014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79836 KachelY 83119 0.68549766 -0.75780475 39.276123 -43.419014
    Oben rechts KachelX + 1 79837 KachelY 83119 0.68554560 -0.75780475 39.278870 -43.419014
    Unten links KachelX 79836 KachelY + 1 83120 0.68549766 -0.75783957 39.276123 -43.421009
    Unten rechts KachelX + 1 79837 KachelY + 1 83120 0.68554560 -0.75783957 39.278870 -43.421009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75780475--0.75783957) × R
    3.4819999999991e-05 × 6371000     		dl = 221.838219999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75780475--0.75783957) × R
    3.4819999999991e-05 × 6371000     		dr = 221.838219999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68549766-0.68554560) × cos(-0.75780475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.726346617792495 × 6371000     		do = 221.844953235625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68549766-0.68554560) × cos(-0.75783957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.726322684570668 × 6371000     		du = 221.837643413637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75780475)-sin(-0.75783957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726346617792495-0.726322684570668)×R²
    abs(0.68554560-0.68549766)×2.39332218269217e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39332218269217e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39332218269217e-05×40589641000000     		ar = 49212.8787479346m²