Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79835 / 83117
↖ ↑ ↗
← S 43.415024°
E 39.273377°		 ← 221.81 m → S 43.415024°
E 39.276123°		 →
↑
221.84 m
↓
↑
221.84 m
↓
S 43.417019°
E 39.273377°		 ← 221.81 m →
49 206 m²		 S 43.417019°
E 39.276123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609096527099609 y=0.634136199951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609096527099609 × 217)
    floor (0.609096527099609 × 131072)
    floor (79835.5)     		tx = 79835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634136199951172 × 217)
    floor (0.634136199951172 × 131072)
    floor (83117.5)     		ty = 83117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79835 / 83117 ti = "17/79835/83117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79835/83117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79835 ÷ 217
    79835 ÷ 131072     		x = 0.609092712402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83117 ÷ 217
    83117 ÷ 131072     		y = 0.634132385253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609092712402344 × 2 - 1) × π
    0.218185424804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.68544973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634132385253906 × 2 - 1) × π
    -0.268264770507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.842778632220207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68544973} λ = 0.68544973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842778632220207))-π/2
    2×atan(0.43051262369101)-π/2
    2×0.406530608163899-π/2
    0.813061216327797-1.57079632675     		φ = -0.75773511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68544973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.273377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75773511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.415024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79835 KachelY 83117 0.68544973 -0.75773511 39.273377 -43.415024
    Oben rechts KachelX + 1 79836 KachelY 83117 0.68549766 -0.75773511 39.276123 -43.415024
    Unten links KachelX 79835 KachelY + 1 83118 0.68544973 -0.75776993 39.273377 -43.417019
    Unten rechts KachelX + 1 79836 KachelY + 1 83118 0.68549766 -0.75776993 39.276123 -43.417019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75773511--0.75776993) × R
    3.4819999999991e-05 × 6371000     		dl = 221.838219999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75773511--0.75776993) × R
    3.4819999999991e-05 × 6371000     		dr = 221.838219999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68544973-0.68549766) × cos(-0.75773511) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.726394481594181 × 6371000     		do = 221.813293480533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68544973-0.68549766) × cos(-0.75776993) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.726370550133676 × 6371000     		du = 221.805985721172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75773511)-sin(-0.75776993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726394481594181-0.726370550133676)×R²
    abs(0.68549766-0.68544973)×2.39314605054997e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39314605054997e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39314605054997e-05×40589641000000     		ar = 49205.8556328347m²