Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79834 / 84094
↖ ↑ ↗
← S 45.332840°
E 39.270630°		 ← 214.71 m → S 45.332840°
E 39.273377°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
S 45.334771°
E 39.270630°		 ← 214.70 m →
46 098 m²		 S 45.334771°
E 39.273377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609088897705078 y=0.641590118408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609088897705078 × 217)
    floor (0.609088897705078 × 131072)
    floor (79834.5)     		tx = 79834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641590118408203 × 217)
    floor (0.641590118408203 × 131072)
    floor (84094.5)     		ty = 84094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79834 / 84094 ti = "17/79834/84094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79834/84094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79834 ÷ 217
    79834 ÷ 131072     		x = 0.609085083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84094 ÷ 217
    84094 ÷ 131072     		y = 0.641586303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609085083007812 × 2 - 1) × π
    0.218170166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68540179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641586303710938 × 2 - 1) × π
    -0.283172607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.889612983149002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68540179} λ = 0.68540179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889612983149002))-π/2
    2×atan(0.410814714207017)-π/2
    2×0.389794501121106-π/2
    0.779589002242211-1.57079632675     		φ = -0.79120732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68540179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.270630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79120732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.332840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79834 KachelY 84094 0.68540179 -0.79120732 39.270630 -45.332840
    Oben rechts KachelX + 1 79835 KachelY 84094 0.68544973 -0.79120732 39.273377 -45.332840
    Unten links KachelX 79834 KachelY + 1 84095 0.68540179 -0.79124102 39.270630 -45.334771
    Unten rechts KachelX + 1 79835 KachelY + 1 84095 0.68544973 -0.79124102 39.273377 -45.334771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79120732--0.79124102) × R
    3.36999999999144e-05 × 6371000     		dl = 214.702699999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79120732--0.79124102) × R
    3.36999999999144e-05 × 6371000     		dr = 214.702699999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68540179-0.68544973) × cos(-0.79120732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70298717917773 × 6371000     		do = 214.71037941073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68540179-0.68544973) × cos(-0.79124102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.702963211253589 × 6371000     		du = 214.703058989763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79120732)-sin(-0.79124102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70298717917773-0.702963211253589)×R²
    abs(0.68544973-0.68540179)×2.39679241417212e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39679241417212e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39679241417212e-05×40589641000000     		ar = 46098.1123247784m²