Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79833 / 84152
↖ ↑ ↗
← S 45.444717°
E 39.267883°		 ← 214.29 m → S 45.444717°
E 39.270630°		 →
↑
214.26 m
↓
↑
214.26 m
↓
S 45.446644°
E 39.267883°		 ← 214.28 m →
45 911 m²		 S 45.446644°
E 39.270630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609081268310547 y=0.642032623291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609081268310547 × 217)
    floor (0.609081268310547 × 131072)
    floor (79833.5)     		tx = 79833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642032623291016 × 217)
    floor (0.642032623291016 × 131072)
    floor (84152.5)     		ty = 84152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79833 / 84152 ti = "17/79833/84152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79833/84152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79833 ÷ 217
    79833 ÷ 131072     		x = 0.609077453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84152 ÷ 217
    84152 ÷ 131072     		y = 0.64202880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609077453613281 × 2 - 1) × π
    0.218154907226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.68535385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64202880859375 × 2 - 1) × π
    -0.2840576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.892393323326965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68535385} λ = 0.68535385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892393323326965))-π/2
    2×atan(0.409674095939583)-π/2
    2×0.388818195581548-π/2
    0.777636391163096-1.57079632675     		φ = -0.79315994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68535385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.267883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79315994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.444717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79833 KachelY 84152 0.68535385 -0.79315994 39.267883 -45.444717
    Oben rechts KachelX + 1 79834 KachelY 84152 0.68540179 -0.79315994 39.270630 -45.444717
    Unten links KachelX 79833 KachelY + 1 84153 0.68535385 -0.79319357 39.267883 -45.446644
    Unten rechts KachelX + 1 79834 KachelY + 1 84153 0.68540179 -0.79319357 39.270630 -45.446644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79315994--0.79319357) × R
    3.36300000000067e-05 × 6371000     		dl = 214.256730000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79315994--0.79319357) × R
    3.36300000000067e-05 × 6371000     		dr = 214.256730000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68535385-0.68540179) × cos(-0.79315994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.701597131645665 × 6371000     		do = 214.285823114614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68535385-0.68540179) × cos(-0.79319357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.701573167390982 × 6371000     		du = 214.278503814394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79315994)-sin(-0.79319357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701597131645665-0.701573167390982)×R²
    abs(0.68540179-0.68535385)×2.39642546827623e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39642546827623e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39642546827623e-05×40589641000000     		ar = 45911.3956456364m²