Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79832 / 84091
↖ ↑ ↗
← S 45.327048°
E 39.265137°		 ← 214.69 m → S 45.327048°
E 39.267883°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
S 45.328978°
E 39.265137°		 ← 214.68 m →
46 093 m²		 S 45.328978°
E 39.267883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609073638916016 y=0.641567230224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609073638916016 × 217)
    floor (0.609073638916016 × 131072)
    floor (79832.5)     		tx = 79832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641567230224609 × 217)
    floor (0.641567230224609 × 131072)
    floor (84091.5)     		ty = 84091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79832 / 84091 ti = "17/79832/84091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79832/84091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79832 ÷ 217
    79832 ÷ 131072     		x = 0.60906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84091 ÷ 217
    84091 ÷ 131072     		y = 0.641563415527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60906982421875 × 2 - 1) × π
    0.2181396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68530592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641563415527344 × 2 - 1) × π
    -0.283126831054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.889469172450142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68530592} λ = 0.68530592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889469172450142))-π/2
    2×atan(0.410873798006508)-π/2
    2×0.389845052244654-π/2
    0.779690104489307-1.57079632675     		φ = -0.79110622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68530592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.265137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79110622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.327048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79832 KachelY 84091 0.68530592 -0.79110622 39.265137 -45.327048
    Oben rechts KachelX + 1 79833 KachelY 84091 0.68535385 -0.79110622 39.267883 -45.327048
    Unten links KachelX 79832 KachelY + 1 84092 0.68530592 -0.79113992 39.265137 -45.328978
    Unten rechts KachelX + 1 79833 KachelY + 1 84092 0.68535385 -0.79113992 39.267883 -45.328978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79110622--0.79113992) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dl = 214.702700000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79110622--0.79113992) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dr = 214.702700000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68530592-0.68535385) × cos(-0.79110622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.703059078159794 × 6371000     		do = 214.687547316935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68530592-0.68535385) × cos(-0.79113992) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70303511263086 × 6371000     		du = 214.680229154369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79110622)-sin(-0.79113992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703059078159794-0.70303511263086)×R²
    abs(0.68535385-0.68530592)×2.39655289335783e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39655289335783e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39655289335783e-05×40589641000000     		ar = 46093.2104549173m²