Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79832 / 84089
↖ ↑ ↗
← S 45.323186°
E 39.265137°		 ← 214.70 m → S 45.323186°
E 39.267883°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
S 45.325117°
E 39.265137°		 ← 214.69 m →
46 096 m²		 S 45.325117°
E 39.267883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609073638916016 y=0.641551971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609073638916016 × 217)
    floor (0.609073638916016 × 131072)
    floor (79832.5)     		tx = 79832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641551971435547 × 217)
    floor (0.641551971435547 × 131072)
    floor (84089.5)     		ty = 84089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79832 / 84089 ti = "17/79832/84089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79832/84089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79832 ÷ 217
    79832 ÷ 131072     		x = 0.60906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84089 ÷ 217
    84089 ÷ 131072     		y = 0.641548156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60906982421875 × 2 - 1) × π
    0.2181396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68530592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641548156738281 × 2 - 1) × π
    -0.283096313476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.889373298650902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68530592} λ = 0.68530592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889373298650902))-π/2
    2×atan(0.410913191926923)-π/2
    2×0.389878755865931-π/2
    0.779757511731861-1.57079632675     		φ = -0.79103882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68530592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.265137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79103882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.323186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79832 KachelY 84089 0.68530592 -0.79103882 39.265137 -45.323186
    Oben rechts KachelX + 1 79833 KachelY 84089 0.68535385 -0.79103882 39.267883 -45.323186
    Unten links KachelX 79832 KachelY + 1 84090 0.68530592 -0.79107252 39.265137 -45.325117
    Unten rechts KachelX + 1 79833 KachelY + 1 84090 0.68535385 -0.79107252 39.267883 -45.325117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79103882--0.79107252) × R
    3.36999999999144e-05 × 6371000     		dl = 214.702699999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79103882--0.79107252) × R
    3.36999999999144e-05 × 6371000     		dr = 214.702699999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68530592-0.68535385) × cos(-0.79103882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.703107006822262 × 6371000     		do = 214.702182910601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68530592-0.68535385) × cos(-0.79107252) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70308304289027 × 6371000     		du = 214.694865235681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79103882)-sin(-0.79107252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703107006822262-0.70308304289027)×R²
    abs(0.68535385-0.68530592)×2.39639319918883e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39639319918883e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39639319918883e-05×40589641000000     		ar = 46096.3528087638m²