Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79831 / 82904
↖ ↑ ↗
← S 42.988576°
E 39.262390°		 ← 223.42 m → S 42.988576°
E 39.265137°		 →
↑
223.37 m
↓
↑
223.37 m
↓
S 42.990585°
E 39.262390°		 ← 223.41 m →
49 903 m²		 S 42.990585°
E 39.265137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609066009521484 y=0.632511138916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609066009521484 × 217)
    floor (0.609066009521484 × 131072)
    floor (79831.5)     		tx = 79831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632511138916016 × 217)
    floor (0.632511138916016 × 131072)
    floor (82904.5)     		ty = 82904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79831 / 82904 ti = "17/79831/82904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79831/82904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79831 ÷ 217
    79831 ÷ 131072     		x = 0.609062194824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82904 ÷ 217
    82904 ÷ 131072     		y = 0.63250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609062194824219 × 2 - 1) × π
    0.218124389648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.68525798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63250732421875 × 2 - 1) × π
    -0.2650146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.832568072601135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68525798} λ = 0.68525798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832568072601135))-π/2
    2×atan(0.434930916738368)-π/2
    2×0.410252063434632-π/2
    0.820504126869265-1.57079632675     		φ = -0.75029220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68525798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.262390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75029220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.988576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79831 KachelY 82904 0.68525798 -0.75029220 39.262390 -42.988576
    Oben rechts KachelX + 1 79832 KachelY 82904 0.68530592 -0.75029220 39.265137 -42.988576
    Unten links KachelX 79831 KachelY + 1 82905 0.68525798 -0.75032726 39.262390 -42.990585
    Unten rechts KachelX + 1 79832 KachelY + 1 82905 0.68530592 -0.75032726 39.265137 -42.990585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75029220--0.75032726) × R
    3.50600000000867e-05 × 6371000     		dl = 223.367260000552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75029220--0.75032726) × R
    3.50600000000867e-05 × 6371000     		dr = 223.367260000552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68525798-0.68530592) × cos(-0.75029220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.731489662794871 × 6371000     		do = 223.415771561328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68525798-0.68530592) × cos(-0.75032726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.731465756595585 × 6371000     		du = 223.40846999272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75029220)-sin(-0.75032726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731489662794871-0.731465756595585)×R²
    abs(0.68530592-0.68525798)×2.39061992861611e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39061992861611e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39061992861611e-05×40589641000000     		ar = 49902.9532739754m²