Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79826 / 82864
↖ ↑ ↗
← S 42.908160°
E 39.248657°		 ← 223.66 m → S 42.908160°
E 39.251404°		 →
↑
223.69 m
↓
↑
223.69 m
↓
S 42.910172°
E 39.248657°		 ← 223.65 m →
50 029 m²		 S 42.910172°
E 39.251404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609027862548828 y=0.632205963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609027862548828 × 217)
    floor (0.609027862548828 × 131072)
    floor (79826.5)     		tx = 79826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632205963134766 × 217)
    floor (0.632205963134766 × 131072)
    floor (82864.5)     		ty = 82864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79826 / 82864 ti = "17/79826/82864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79826/82864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79826 ÷ 217
    79826 ÷ 131072     		x = 0.609024047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82864 ÷ 217
    82864 ÷ 131072     		y = 0.6322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609024047851562 × 2 - 1) × π
    0.218048095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68501830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6322021484375 × 2 - 1) × π
    -0.264404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.830650596616333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68501830} λ = 0.68501830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830650596616333))-π/2
    2×atan(0.43576568639588)-π/2
    2×0.410953828791904-π/2
    0.821907657583808-1.57079632675     		φ = -0.74888867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68501830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.248657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74888867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.908160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79826 KachelY 82864 0.68501830 -0.74888867 39.248657 -42.908160
    Oben rechts KachelX + 1 79827 KachelY 82864 0.68506623 -0.74888867 39.251404 -42.908160
    Unten links KachelX 79826 KachelY + 1 82865 0.68501830 -0.74892378 39.248657 -42.910172
    Unten rechts KachelX + 1 79827 KachelY + 1 82865 0.68506623 -0.74892378 39.251404 -42.910172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74888867--0.74892378) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dl = 223.685810000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74888867--0.74892378) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dr = 223.685810000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68501830-0.68506623) × cos(-0.74888867) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.732445942483346 × 6371000     		do = 223.661179862115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68501830-0.68506623) × cos(-0.74892378) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.732422038259431 × 6371000     		du = 223.653880419774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74888867)-sin(-0.74892378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732445942483346-0.732422038259431)×R²
    abs(0.68506623-0.68501830)×2.39042239150722e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39042239150722e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39042239150722e-05×40589641000000     		ar = 50029.0157973929m²