Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79825 / 84075
↖ ↑ ↗
← S 45.296143°
E 39.245911°		 ← 214.85 m → S 45.296143°
E 39.248657°		 →
↑
214.83 m
↓
↑
214.83 m
↓
S 45.298075°
E 39.245911°		 ← 214.84 m →
46 155 m²		 S 45.298075°
E 39.248657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609020233154297 y=0.641445159912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609020233154297 × 217)
    floor (0.609020233154297 × 131072)
    floor (79825.5)     		tx = 79825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641445159912109 × 217)
    floor (0.641445159912109 × 131072)
    floor (84075.5)     		ty = 84075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79825 / 84075 ti = "17/79825/84075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79825/84075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79825 ÷ 217
    79825 ÷ 131072     		x = 0.609016418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84075 ÷ 217
    84075 ÷ 131072     		y = 0.641441345214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609016418457031 × 2 - 1) × π
    0.218032836914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.68497036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641441345214844 × 2 - 1) × π
    -0.282882690429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.888702182056221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68497036} λ = 0.68497036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888702182056221))-π/2
    2×atan(0.411189055146837)-π/2
    2×0.390114745553465-π/2
    0.780229491106929-1.57079632675     		φ = -0.79056684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68497036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.245911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79056684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.296143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79825 KachelY 84075 0.68497036 -0.79056684 39.245911 -45.296143
    Oben rechts KachelX + 1 79826 KachelY 84075 0.68501830 -0.79056684 39.248657 -45.296143
    Unten links KachelX 79825 KachelY + 1 84076 0.68497036 -0.79060056 39.245911 -45.298075
    Unten rechts KachelX + 1 79826 KachelY + 1 84076 0.68501830 -0.79060056 39.248657 -45.298075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79056684--0.79060056) × R
    3.37200000000148e-05 × 6371000     		dl = 214.830120000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79056684--0.79060056) × R
    3.37200000000148e-05 × 6371000     		dr = 214.830120000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68497036-0.68501830) × cos(-0.79056684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703442545949445 × 6371000     		do = 214.849460143952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68497036-0.68501830) × cos(-0.79060056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703418578987842 × 6371000     		du = 214.842140016969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79056684)-sin(-0.79060056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703442545949445-0.703418578987842)×R²
    abs(0.68501830-0.68497036)×2.39669616032279e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39669616032279e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39669616032279e-05×40589641000000     		ar = 46155.3490172407m²