Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79823 / 84079
↖ ↑ ↗
← S 45.303871°
E 39.240417°		 ← 214.82 m → S 45.303871°
E 39.243164°		 →
↑
214.83 m
↓
↑
214.83 m
↓
S 45.305803°
E 39.240417°		 ← 214.81 m →
46 149 m²		 S 45.305803°
E 39.243164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609004974365234 y=0.641475677490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609004974365234 × 217)
    floor (0.609004974365234 × 131072)
    floor (79823.5)     		tx = 79823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641475677490234 × 217)
    floor (0.641475677490234 × 131072)
    floor (84079.5)     		ty = 84079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79823 / 84079 ti = "17/79823/84079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79823/84079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79823 ÷ 217
    79823 ÷ 131072     		x = 0.609001159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84079 ÷ 217
    84079 ÷ 131072     		y = 0.641471862792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609001159667969 × 2 - 1) × π
    0.218002319335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.68487448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641471862792969 × 2 - 1) × π
    -0.282943725585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.888893929654701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68487448} λ = 0.68487448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888893929654701))-π/2
    2×atan(0.411110218191631)-π/2
    2×0.390047308439386-π/2
    0.780094616878772-1.57079632675     		φ = -0.79070171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68487448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.240417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79070171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.303871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79823 KachelY 84079 0.68487448 -0.79070171 39.240417 -45.303871
    Oben rechts KachelX + 1 79824 KachelY 84079 0.68492242 -0.79070171 39.243164 -45.303871
    Unten links KachelX 79823 KachelY + 1 84080 0.68487448 -0.79073543 39.240417 -45.305803
    Unten rechts KachelX + 1 79824 KachelY + 1 84080 0.68492242 -0.79073543 39.243164 -45.305803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79070171--0.79073543) × R
    3.37200000000148e-05 × 6371000     		dl = 214.830120000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79070171--0.79073543) × R
    3.37200000000148e-05 × 6371000     		dr = 214.830120000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68487448-0.68492242) × cos(-0.79070171) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.703346680412728 × 6371000     		do = 214.820180341957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68487448-0.68492242) × cos(-0.79073543) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.703322710252269 × 6371000     		du = 214.812859237962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79070171)-sin(-0.79073543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703346680412728-0.703322710252269)×R²
    abs(0.68492242-0.68487448)×2.39701604582976e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39701604582976e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39701604582976e-05×40589641000000     		ar = 46149.0587289349m²