Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79822 / 84087
↖ ↑ ↗
← S 45.319323°
E 39.237671°		 ← 214.72 m → S 45.319323°
E 39.240417°		 →
↑
214.77 m
↓
↑
214.77 m
↓
S 45.321254°
E 39.237671°		 ← 214.71 m →
46 113 m²		 S 45.321254°
E 39.240417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608997344970703 y=0.641536712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608997344970703 × 217)
    floor (0.608997344970703 × 131072)
    floor (79822.5)     		tx = 79822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641536712646484 × 217)
    floor (0.641536712646484 × 131072)
    floor (84087.5)     		ty = 84087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79822 / 84087 ti = "17/79822/84087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79822/84087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79822 ÷ 217
    79822 ÷ 131072     		x = 0.608993530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84087 ÷ 217
    84087 ÷ 131072     		y = 0.641532897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608993530273438 × 2 - 1) × π
    0.217987060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68482655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641532897949219 × 2 - 1) × π
    -0.283065795898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.889277424851662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68482655} λ = 0.68482655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889277424851662))-π/2
    2×atan(0.410952589624365)-π/2
    2×0.389912461785008-π/2
    0.779824923570015-1.57079632675     		φ = -0.79097140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68482655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.237671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79097140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.319323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79822 KachelY 84087 0.68482655 -0.79097140 39.237671 -45.319323
    Oben rechts KachelX + 1 79823 KachelY 84087 0.68487448 -0.79097140 39.240417 -45.319323
    Unten links KachelX 79822 KachelY + 1 84088 0.68482655 -0.79100511 39.237671 -45.321254
    Unten rechts KachelX + 1 79823 KachelY + 1 84088 0.68487448 -0.79100511 39.240417 -45.321254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79097140--0.79100511) × R
    3.37099999999646e-05 × 6371000     		dl = 214.766409999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79097140--0.79100511) × R
    3.37099999999646e-05 × 6371000     		dr = 214.766409999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68482655-0.68487448) × cos(-0.79097140) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.703154946511417 × 6371000     		do = 214.716821870902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68482655-0.68487448) × cos(-0.79100511) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.703130977066346 × 6371000     		du = 214.709502512497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79097140)-sin(-0.79100511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703154946511417-0.703130977066346)×R²
    abs(0.68487448-0.68482655)×2.39694450712147e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39694450712147e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39694450712147e-05×40589641000000     		ar = 46113.1750280146m²