Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79819 / 84080
↖ ↑ ↗
← S 45.305803°
E 39.229431°		 ← 214.77 m → S 45.305803°
E 39.232177°		 →
↑
214.77 m
↓
↑
214.77 m
↓
S 45.307734°
E 39.229431°		 ← 214.76 m →
46 124 m²		 S 45.307734°
E 39.232177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608974456787109 y=0.641483306884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608974456787109 × 217)
    floor (0.608974456787109 × 131072)
    floor (79819.5)     		tx = 79819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641483306884766 × 217)
    floor (0.641483306884766 × 131072)
    floor (84080.5)     		ty = 84080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79819 / 84080 ti = "17/79819/84080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79819/84080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79819 ÷ 217
    79819 ÷ 131072     		x = 0.608970642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84080 ÷ 217
    84080 ÷ 131072     		y = 0.6414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608970642089844 × 2 - 1) × π
    0.217941284179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.68468274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6414794921875 × 2 - 1) × π
    -0.282958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.888941866554321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68468274} λ = 0.68468274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888941866554321))-π/2
    2×atan(0.411090511314716)-π/2
    2×0.390030450597003-π/2
    0.780060901194007-1.57079632675     		φ = -0.79073543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68468274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.229431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79073543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.305803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79819 KachelY 84080 0.68468274 -0.79073543 39.229431 -45.305803
    Oben rechts KachelX + 1 79820 KachelY 84080 0.68473067 -0.79073543 39.232177 -45.305803
    Unten links KachelX 79819 KachelY + 1 84081 0.68468274 -0.79076914 39.229431 -45.307734
    Unten rechts KachelX + 1 79820 KachelY + 1 84081 0.68473067 -0.79076914 39.232177 -45.307734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79073543--0.79076914) × R
    3.37099999999646e-05 × 6371000     		dl = 214.766409999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79073543--0.79076914) × R
    3.37099999999646e-05 × 6371000     		dr = 214.766409999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68468274-0.68473067) × cos(-0.79073543) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.703322710252269 × 6371000     		do = 214.768050547866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68468274-0.68473067) × cos(-0.79076914) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70329874640105 × 6371000     		du = 214.760732897611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79073543)-sin(-0.79076914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703322710252269-0.70329874640105)×R²
    abs(0.68473067-0.68468274)×2.39638512189444e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39638512189444e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39638512189444e-05×40589641000000     		ar = 46124.1774105611m²