Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79818 / 84100
↖ ↑ ↗
← S 45.344424°
E 39.226685°		 ← 214.67 m → S 45.344424°
E 39.229431°		 →
↑
214.64 m
↓
↑
214.64 m
↓
S 45.346355°
E 39.226685°		 ← 214.66 m →
46 075 m²		 S 45.346355°
E 39.229431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608966827392578 y=0.641635894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608966827392578 × 217)
    floor (0.608966827392578 × 131072)
    floor (79818.5)     		tx = 79818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641635894775391 × 217)
    floor (0.641635894775391 × 131072)
    floor (84100.5)     		ty = 84100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79818 / 84100 ti = "17/79818/84100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79818/84100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79818 ÷ 217
    79818 ÷ 131072     		x = 0.608963012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84100 ÷ 217
    84100 ÷ 131072     		y = 0.641632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608963012695312 × 2 - 1) × π
    0.217926025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68463480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.28326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.889900604546722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68463480} λ = 0.68463480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889900604546722))-π/2
    2×atan(0.410696572095626)-π/2
    2×0.389693414384088-π/2
    0.779386828768176-1.57079632675     		φ = -0.79140950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68463480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.226685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79140950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.344424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79818 KachelY 84100 0.68463480 -0.79140950 39.226685 -45.344424
    Oben rechts KachelX + 1 79819 KachelY 84100 0.68468274 -0.79140950 39.229431 -45.344424
    Unten links KachelX 79818 KachelY + 1 84101 0.68463480 -0.79144319 39.226685 -45.346355
    Unten rechts KachelX + 1 79819 KachelY + 1 84101 0.68468274 -0.79144319 39.229431 -45.346355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79140950--0.79144319) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dl = 214.638989999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79140950--0.79144319) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dr = 214.638989999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68463480-0.68468274) × cos(-0.79140950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.702843373885093 × 6371000     		do = 214.66645757281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68463480-0.68468274) × cos(-0.79144319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.702819408285427 × 6371000     		du = 214.659137861798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79140950)-sin(-0.79144319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702843373885093-0.702819408285427)×R²
    abs(0.68468274-0.68463480)×2.39655996662202e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39655996662202e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39655996662202e-05×40589641000000     		ar = 46075.0060968721m²