Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79817 / 84083
↖ ↑ ↗
← S 45.311598°
E 39.223938°		 ← 214.79 m → S 45.311598°
E 39.226685°		 →
↑
214.77 m
↓
↑
214.77 m
↓
S 45.313529°
E 39.223938°		 ← 214.78 m →
46 129 m²		 S 45.313529°
E 39.226685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608959197998047 y=0.641506195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608959197998047 × 217)
    floor (0.608959197998047 × 131072)
    floor (79817.5)     		tx = 79817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641506195068359 × 217)
    floor (0.641506195068359 × 131072)
    floor (84083.5)     		ty = 84083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79817 / 84083 ti = "17/79817/84083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79817/84083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79817 ÷ 217
    79817 ÷ 131072     		x = 0.608955383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84083 ÷ 217
    84083 ÷ 131072     		y = 0.641502380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608955383300781 × 2 - 1) × π
    0.217910766601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.68458686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641502380371094 × 2 - 1) × π
    -0.283004760742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.889085677253181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68458686} λ = 0.68458686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889085677253181))-π/2
    2×atan(0.411031396351773)-π/2
    2×0.389979880516576-π/2
    0.779959761033152-1.57079632675     		φ = -0.79083657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68458686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.223938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79083657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.311598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79817 KachelY 84083 0.68458686 -0.79083657 39.223938 -45.311598
    Oben rechts KachelX + 1 79818 KachelY 84083 0.68463480 -0.79083657 39.226685 -45.311598
    Unten links KachelX 79817 KachelY + 1 84084 0.68458686 -0.79087028 39.223938 -45.313529
    Unten rechts KachelX + 1 79818 KachelY + 1 84084 0.68463480 -0.79087028 39.226685 -45.313529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79083657--0.79087028) × R
    3.37100000000756e-05 × 6371000     		dl = 214.766410000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79083657--0.79087028) × R
    3.37100000000756e-05 × 6371000     		dr = 214.766410000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68458686-0.68463480) × cos(-0.79083657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703250809191611 × 6371000     		do = 214.790898802806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68458686-0.68463480) × cos(-0.79087028) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703226842942626 × 6371000     		du = 214.783578893475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79083657)-sin(-0.79087028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703250809191611-0.703226842942626)×R²
    abs(0.68463480-0.68458686)×2.39662489848191e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39662489848191e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39662489848191e-05×40589641000000     		ar = 46129.0842057188m²