Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79817 / 82965
↖ ↑ ↗
← S 43.111009°
E 39.223938°		 ← 222.97 m → S 43.111009°
E 39.226685°		 →
↑
222.99 m
↓
↑
222.99 m
↓
S 43.113014°
E 39.223938°		 ← 222.96 m →
49 718 m²		 S 43.113014°
E 39.226685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608959197998047 y=0.632976531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608959197998047 × 217)
    floor (0.608959197998047 × 131072)
    floor (79817.5)     		tx = 79817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632976531982422 × 217)
    floor (0.632976531982422 × 131072)
    floor (82965.5)     		ty = 82965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79817 / 82965 ti = "17/79817/82965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79817/82965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79817 ÷ 217
    79817 ÷ 131072     		x = 0.608955383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82965 ÷ 217
    82965 ÷ 131072     		y = 0.632972717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608955383300781 × 2 - 1) × π
    0.217910766601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.68458686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632972717285156 × 2 - 1) × π
    -0.265945434570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.835492223477959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68458686} λ = 0.68458686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835492223477959))-π/2
    2×atan(0.433660970778532)-π/2
    2×0.409183636669238-π/2
    0.818367273338476-1.57079632675     		φ = -0.75242905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68458686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.223938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75242905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.111009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79817 KachelY 82965 0.68458686 -0.75242905 39.223938 -43.111009
    Oben rechts KachelX + 1 79818 KachelY 82965 0.68463480 -0.75242905 39.226685 -43.111009
    Unten links KachelX 79817 KachelY + 1 82966 0.68458686 -0.75246405 39.223938 -43.113014
    Unten rechts KachelX + 1 79818 KachelY + 1 82966 0.68463480 -0.75246405 39.226685 -43.113014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75242905--0.75246405) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dl = 222.985000000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75242905--0.75246405) × R
    3.50000000000072e-05 × 6371000     		dr = 222.985000000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68458686-0.68463480) × cos(-0.75242905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730030977287037 × 6371000     		do = 222.97025146067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68458686-0.68463480) × cos(-0.75246405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730007057347931 × 6371000     		du = 222.962945695568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75242905)-sin(-0.75246405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730030977287037-0.730007057347931)×R²
    abs(0.68463480-0.68458686)×2.39199391058875e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39199391058875e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39199391058875e-05×40589641000000     		ar = 49718.206989017m²