Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79815 / 82967
↖ ↑ ↗
← S 43.115019°
E 39.218445°		 ← 222.96 m → S 43.115019°
E 39.221192°		 →
↑
222.92 m
↓
↑
222.92 m
↓
S 43.117024°
E 39.218445°		 ← 222.95 m →
49 701 m²		 S 43.117024°
E 39.221192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608943939208984 y=0.632991790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608943939208984 × 217)
    floor (0.608943939208984 × 131072)
    floor (79815.5)     		tx = 79815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632991790771484 × 217)
    floor (0.632991790771484 × 131072)
    floor (82967.5)     		ty = 82967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79815 / 82967 ti = "17/79815/82967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79815/82967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79815 ÷ 217
    79815 ÷ 131072     		x = 0.608940124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82967 ÷ 217
    82967 ÷ 131072     		y = 0.632987976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608940124511719 × 2 - 1) × π
    0.217880249023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.68449099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632987976074219 × 2 - 1) × π
    -0.265975952148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.835588097277199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68449099} λ = 0.68449099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835588097277199))-π/2
    2×atan(0.433619396046677)-π/2
    2×0.409148642394154-π/2
    0.818297284788307-1.57079632675     		φ = -0.75249904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68449099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.218445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75249904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.115019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79815 KachelY 82967 0.68449099 -0.75249904 39.218445 -43.115019
    Oben rechts KachelX + 1 79816 KachelY 82967 0.68453893 -0.75249904 39.221192 -43.115019
    Unten links KachelX 79815 KachelY + 1 82968 0.68449099 -0.75253403 39.218445 -43.117024
    Unten rechts KachelX + 1 79816 KachelY + 1 82968 0.68453893 -0.75253403 39.221192 -43.117024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75249904--0.75253403) × R
    3.4989999999957e-05 × 6371000     		dl = 222.921289999726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75249904--0.75253403) × R
    3.4989999999957e-05 × 6371000     		dr = 222.921289999726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68449099-0.68453893) × cos(-0.75249904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729983143349218 × 6371000     		do = 222.955641744815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68449099-0.68453893) × cos(-0.75253403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.729959228456787 × 6371000     		du = 222.948337521097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75249904)-sin(-0.75253403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729983143349218-0.729959228456787)×R²
    abs(0.68453893-0.68449099)×2.39148924313648e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39148924313648e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39148924313648e-05×40589641000000     		ar = 49700.7451421304m²