Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79814 / 82933
↖ ↑ ↗
← S 43.046812°
E 39.215698°		 ← 223.20 m → S 43.046812°
E 39.218445°		 →
↑
223.18 m
↓
↑
223.18 m
↓
S 43.048820°
E 39.215698°		 ← 223.20 m →
49 813 m²		 S 43.048820°
E 39.218445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608936309814453 y=0.632732391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608936309814453 × 217)
    floor (0.608936309814453 × 131072)
    floor (79814.5)     		tx = 79814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632732391357422 × 217)
    floor (0.632732391357422 × 131072)
    floor (82933.5)     		ty = 82933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79814 / 82933 ti = "17/79814/82933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79814/82933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79814 ÷ 217
    79814 ÷ 131072     		x = 0.608932495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82933 ÷ 217
    82933 ÷ 131072     		y = 0.632728576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608932495117188 × 2 - 1) × π
    0.217864990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68444305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632728576660156 × 2 - 1) × π
    -0.265457153320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.833958242690117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68444305} λ = 0.68444305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833958242690117))-π/2
    2×atan(0.434326708860311)-π/2
    2×0.409743856897607-π/2
    0.819487713795213-1.57079632675     		φ = -0.75130861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68444305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.215698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75130861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.046812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79814 KachelY 82933 0.68444305 -0.75130861 39.215698 -43.046812
    Oben rechts KachelX + 1 79815 KachelY 82933 0.68449099 -0.75130861 39.218445 -43.046812
    Unten links KachelX 79814 KachelY + 1 82934 0.68444305 -0.75134364 39.215698 -43.048820
    Unten rechts KachelX + 1 79815 KachelY + 1 82934 0.68449099 -0.75134364 39.218445 -43.048820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75130861--0.75134364) × R
    3.50299999999359e-05 × 6371000     		dl = 223.176129999592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75130861--0.75134364) × R
    3.50299999999359e-05 × 6371000     		dr = 223.176129999592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68444305-0.68449099) × cos(-0.75130861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730796243336733 × 6371000     		do = 223.203983410195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68444305-0.68449099) × cos(-0.75134364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.730772331561986 × 6371000     		du = 223.196680138698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75130861)-sin(-0.75134364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730796243336733-0.730772331561986)×R²
    abs(0.68449099-0.68444305)×2.39117747473649e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39117747473649e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39117747473649e-05×40589641000000     		ar = 49812.9862651407m²