Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79812 / 83019
↖ ↑ ↗
← S 43.219188°
E 39.210205°		 ← 222.58 m → S 43.219188°
E 39.212952°		 →
↑
222.60 m
↓
↑
222.60 m
↓
S 43.221190°
E 39.210205°		 ← 222.57 m →
49 545 m²		 S 43.221190°
E 39.212952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608921051025391 y=0.633388519287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608921051025391 × 217)
    floor (0.608921051025391 × 131072)
    floor (79812.5)     		tx = 79812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633388519287109 × 217)
    floor (0.633388519287109 × 131072)
    floor (83019.5)     		ty = 83019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79812 / 83019 ti = "17/79812/83019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79812/83019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79812 ÷ 217
    79812 ÷ 131072     		x = 0.608917236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83019 ÷ 217
    83019 ÷ 131072     		y = 0.633384704589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608917236328125 × 2 - 1) × π
    0.21783447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68434718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633384704589844 × 2 - 1) × π
    -0.266769409179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.838080816057442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68434718} λ = 0.68434718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838080816057442))-π/2
    2×atan(0.432539850894903)-π/2
    2×0.408239596136722-π/2
    0.816479192273445-1.57079632675     		φ = -0.75431713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68434718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.210205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75431713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.219188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79812 KachelY 83019 0.68434718 -0.75431713 39.210205 -43.219188
    Oben rechts KachelX + 1 79813 KachelY 83019 0.68439512 -0.75431713 39.212952 -43.219188
    Unten links KachelX 79812 KachelY + 1 83020 0.68434718 -0.75435207 39.210205 -43.221190
    Unten rechts KachelX + 1 79813 KachelY + 1 83020 0.68439512 -0.75435207 39.212952 -43.221190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75431713--0.75435207) × R
    3.49400000000388e-05 × 6371000     		dl = 222.602740000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75431713--0.75435207) × R
    3.49400000000388e-05 × 6371000     		dr = 222.602740000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68434718-0.68439512) × cos(-0.75431713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728739336418816 × 6371000     		do = 222.57575109268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68434718-0.68439512) × cos(-0.75435207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.728715409369674 × 6371000     		du = 222.56844315599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75431713)-sin(-0.75435207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728739336418816-0.728715409369674)×R²
    abs(0.68439512-0.68434718)×2.39270491417809e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39270491417809e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39270491417809e-05×40589641000000     		ar = 49545.1586725038m²