Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79811 / 18757
↖ ↑ ↗
← N 77.875930°
E 39.207458°		 ← 64.15 m → N 77.875930°
E 39.210205°		 →
↑
64.16 m
↓
↑
64.16 m
↓
N 77.875353°
E 39.207458°		 ← 64.15 m →
4 116 m²		 N 77.875353°
E 39.210205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608913421630859 y=0.143108367919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608913421630859 × 217)
    floor (0.608913421630859 × 131072)
    floor (79811.5)     		tx = 79811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143108367919922 × 217)
    floor (0.143108367919922 × 131072)
    floor (18757.5)     		ty = 18757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79811 / 18757 ti = "17/79811/18757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79811/18757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79811 ÷ 217
    79811 ÷ 131072     		x = 0.608909606933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18757 ÷ 217
    18757 ÷ 131072     		y = 0.143104553222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608909606933594 × 2 - 1) × π
    0.217819213867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.68429924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143104553222656 × 2 - 1) × π
    0.713790893554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.24244022732661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68429924} λ = 0.68429924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24244022732661))-π/2
    2×atan(9.41628114118008)-π/2
    2×1.46499385448927-π/2
    2.92998770897853-1.57079632675     		φ = 1.35919138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68429924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.207458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35919138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.875930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79811 KachelY 18757 0.68429924 1.35919138 39.207458 77.875930
    Oben rechts KachelX + 1 79812 KachelY 18757 0.68434718 1.35919138 39.210205 77.875930
    Unten links KachelX 79811 KachelY + 1 18758 0.68429924 1.35918131 39.207458 77.875353
    Unten rechts KachelX + 1 79812 KachelY + 1 18758 0.68434718 1.35918131 39.210205 77.875353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35919138-1.35918131) × R
    1.00699999998621e-05 × 6371000     		dl = 64.1559699991217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35919138-1.35918131) × R
    1.00699999998621e-05 × 6371000     		dr = 64.1559699991217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68429924-0.68434718) × cos(1.35919138) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210029318273017 × 6371000     		do = 64.1483599553382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68429924-0.68434718) × cos(1.35918131) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210039163651906 × 6371000     		du = 64.1513669874709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35919138)-sin(1.35918131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210029318273017-0.210039163651906)×R²
    abs(0.68434718-0.68429924)×9.84537888873427e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.84537888873427e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.84537888873427e-06×40589641000000     		ar = 4115.5967164234m²