Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79810 / 84090
↖ ↑ ↗
← S 45.325117°
E 39.204712°		 ← 214.69 m → S 45.325117°
E 39.207458°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
S 45.327048°
E 39.204712°		 ← 214.69 m →
46 095 m²		 S 45.327048°
E 39.207458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608905792236328 y=0.641559600830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608905792236328 × 217)
    floor (0.608905792236328 × 131072)
    floor (79810.5)     		tx = 79810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641559600830078 × 217)
    floor (0.641559600830078 × 131072)
    floor (84090.5)     		ty = 84090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79810 / 84090 ti = "17/79810/84090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79810/84090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79810 ÷ 217
    79810 ÷ 131072     		x = 0.608901977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84090 ÷ 217
    84090 ÷ 131072     		y = 0.641555786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608901977539062 × 2 - 1) × π
    0.217803955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68425131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641555786132812 × 2 - 1) × π
    -0.283111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.889421235550522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68425131} λ = 0.68425131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889421235550522))-π/2
    2×atan(0.41089349449461)-π/2
    2×0.389861903768067-π/2
    0.779723807536134-1.57079632675     		φ = -0.79107252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68425131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.204712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79107252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.325117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79810 KachelY 84090 0.68425131 -0.79107252 39.204712 -45.325117
    Oben rechts KachelX + 1 79811 KachelY 84090 0.68429924 -0.79107252 39.207458 -45.325117
    Unten links KachelX 79810 KachelY + 1 84091 0.68425131 -0.79110622 39.204712 -45.327048
    Unten rechts KachelX + 1 79811 KachelY + 1 84091 0.68429924 -0.79110622 39.207458 -45.327048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79107252--0.79110622) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dl = 214.702700000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79107252--0.79110622) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dr = 214.702700000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68425131-0.68429924) × cos(-0.79107252) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70308304289027 × 6371000     		do = 214.694865235681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68425131-0.68429924) × cos(-0.79110622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.703059078159794 × 6371000     		du = 214.687547316935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79107252)-sin(-0.79110622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70308304289027-0.703059078159794)×R²
    abs(0.68429924-0.68425131)×2.3964730476389e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3964730476389e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3964730476389e-05×40589641000000     		ar = 46094.7816581913m²