Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79810 / 18756
↖ ↑ ↗
← N 77.876507°
E 39.204712°		 ← 64.13 m → N 77.876507°
E 39.207458°		 →
↑
64.16 m
↓
↑
64.16 m
↓
N 77.875930°
E 39.204712°		 ← 64.13 m →
4 115 m²		 N 77.875930°
E 39.207458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608905792236328 y=0.143100738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608905792236328 × 217)
    floor (0.608905792236328 × 131072)
    floor (79810.5)     		tx = 79810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143100738525391 × 217)
    floor (0.143100738525391 × 131072)
    floor (18756.5)     		ty = 18756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79810 / 18756 ti = "17/79810/18756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79810/18756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79810 ÷ 217
    79810 ÷ 131072     		x = 0.608901977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18756 ÷ 217
    18756 ÷ 131072     		y = 0.143096923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608901977539062 × 2 - 1) × π
    0.217803955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68425131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143096923828125 × 2 - 1) × π
    0.71380615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24248816422623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68425131} λ = 0.68425131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24248816422623))-π/2
    2×atan(9.41673253932316)-π/2
    2×1.46499888844842-π/2
    2.92999777689684-1.57079632675     		φ = 1.35920145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68425131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.204712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35920145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.876507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79810 KachelY 18756 0.68425131 1.35920145 39.204712 77.876507
    Oben rechts KachelX + 1 79811 KachelY 18756 0.68429924 1.35920145 39.207458 77.876507
    Unten links KachelX 79810 KachelY + 1 18757 0.68425131 1.35919138 39.204712 77.875930
    Unten rechts KachelX + 1 79811 KachelY + 1 18757 0.68429924 1.35919138 39.207458 77.875930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35920145-1.35919138) × R
    1.00700000000842e-05 × 6371000     		dl = 64.1559700005363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35920145-1.35919138) × R
    1.00700000000842e-05 × 6371000     		dr = 64.1559700005363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68425131-0.68429924) × cos(1.35920145) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21001947287283 × 6371000     		do = 64.1319725760165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68425131-0.68429924) × cos(1.35919138) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210029318273017 × 6371000     		du = 64.1349789874038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35920145)-sin(1.35919138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21001947287283-0.210029318273017)×R²
    abs(0.68429924-0.68425131)×9.84540018697522e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.84540018697522e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.84540018697522e-06×40589641000000     		ar = 4114.54534838355m²