Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79808 / 83390
↖ ↑ ↗
← S 43.957237°
E 39.199219°		 ← 219.86 m → S 43.957237°
E 39.201965°		 →
↑
219.80 m
↓
↑
219.80 m
↓
S 43.959213°
E 39.199219°		 ← 219.86 m →
48 325 m²		 S 43.959213°
E 39.201965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608890533447266 y=0.636219024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608890533447266 × 217)
    floor (0.608890533447266 × 131072)
    floor (79808.5)     		tx = 79808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636219024658203 × 217)
    floor (0.636219024658203 × 131072)
    floor (83390.5)     		ty = 83390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79808 / 83390 ti = "17/79808/83390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79808/83390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79808 ÷ 217
    79808 ÷ 131072     		x = 0.60888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83390 ÷ 217
    83390 ÷ 131072     		y = 0.636215209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60888671875 × 2 - 1) × π
    0.2177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68415543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636215209960938 × 2 - 1) × π
    -0.272430419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.855865405816483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68415543} λ = 0.68415543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855865405816483))-π/2
    2×atan(0.42491530774221)-π/2
    2×0.401798910148961-π/2
    0.803597820297923-1.57079632675     		φ = -0.76719851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68415543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.199219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76719851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.957237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79808 KachelY 83390 0.68415543 -0.76719851 39.199219 -43.957237
    Oben rechts KachelX + 1 79809 KachelY 83390 0.68420337 -0.76719851 39.201965 -43.957237
    Unten links KachelX 79808 KachelY + 1 83391 0.68415543 -0.76723301 39.199219 -43.959213
    Unten rechts KachelX + 1 79809 KachelY + 1 83391 0.68420337 -0.76723301 39.201965 -43.959213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76719851--0.76723301) × R
    3.45000000000484e-05 × 6371000     		dl = 219.799500000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76719851--0.76723301) × R
    3.45000000000484e-05 × 6371000     		dr = 219.799500000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68415543-0.68420337) × cos(-0.76719851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.719858065765709 × 6371000     		do = 219.863182431316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68415543-0.68420337) × cos(-0.76723301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.719834118152805 × 6371000     		du = 219.855868213924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76719851)-sin(-0.76723301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719858065765709-0.719834118152805)×R²
    abs(0.68420337-0.68415543)×2.39476129038074e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39476129038074e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39476129038074e-05×40589641000000     		ar = 48325.0137408338m²