Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79807 / 83125
↖ ↑ ↗
← S 43.430982°
E 39.196472°		 ← 221.80 m → S 43.430982°
E 39.199219°		 →
↑
221.77 m
↓
↑
221.77 m
↓
S 43.432977°
E 39.196472°		 ← 221.79 m →
49 189 m²		 S 43.432977°
E 39.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608882904052734 y=0.634197235107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608882904052734 × 217)
    floor (0.608882904052734 × 131072)
    floor (79807.5)     		tx = 79807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634197235107422 × 217)
    floor (0.634197235107422 × 131072)
    floor (83125.5)     		ty = 83125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79807 / 83125 ti = "17/79807/83125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79807/83125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79807 ÷ 217
    79807 ÷ 131072     		x = 0.608879089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83125 ÷ 217
    83125 ÷ 131072     		y = 0.634193420410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608879089355469 × 2 - 1) × π
    0.217758178710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.68410749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634193420410156 × 2 - 1) × π
    -0.268386840820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.843162127417168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68410749} λ = 0.68410749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843162127417168))-π/2
    2×atan(0.430347555820984)-π/2
    2×0.406391342122196-π/2
    0.812782684244391-1.57079632675     		φ = -0.75801364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68410749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.196472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75801364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.430982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79807 KachelY 83125 0.68410749 -0.75801364 39.196472 -43.430982
    Oben rechts KachelX + 1 79808 KachelY 83125 0.68415543 -0.75801364 39.199219 -43.430982
    Unten links KachelX 79807 KachelY + 1 83126 0.68410749 -0.75804845 39.196472 -43.432977
    Unten rechts KachelX + 1 79808 KachelY + 1 83126 0.68415543 -0.75804845 39.199219 -43.432977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75801364--0.75804845) × R
    3.48099999999407e-05 × 6371000     		dl = 221.774509999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75801364--0.75804845) × R
    3.48099999999407e-05 × 6371000     		dr = 221.774509999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68410749-0.68415543) × cos(-0.75801364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.726203025877266 × 6371000     		do = 221.801096568658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68410749-0.68415543) × cos(-0.75804845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.726179094247986 × 6371000     		du = 221.793787233076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75801364)-sin(-0.75804845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726203025877266-0.726179094247986)×R²
    abs(0.68415543-0.68410749)×2.39316292799385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39316292799385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39316292799385e-05×40589641000000     		ar = 49189.0190016576m²