Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79803 / 83179
↖ ↑ ↗
← S 43.538594°
E 39.185486°		 ← 221.36 m → S 43.538594°
E 39.188232°		 →
↑
221.39 m
↓
↑
221.39 m
↓
S 43.540585°
E 39.185486°		 ← 221.35 m →
49 007 m²		 S 43.540585°
E 39.188232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608852386474609 y=0.634609222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608852386474609 × 217)
    floor (0.608852386474609 × 131072)
    floor (79803.5)     		tx = 79803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634609222412109 × 217)
    floor (0.634609222412109 × 131072)
    floor (83179.5)     		ty = 83179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79803 / 83179 ti = "17/79803/83179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79803/83179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79803 ÷ 217
    79803 ÷ 131072     		x = 0.608848571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83179 ÷ 217
    83179 ÷ 131072     		y = 0.634605407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608848571777344 × 2 - 1) × π
    0.217697143554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.68391575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634605407714844 × 2 - 1) × π
    -0.269210815429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.845750719996651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68391575} λ = 0.68391575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.845750719996651))-π/2
    2×atan(0.429235001927015)-π/2
    2×0.405452256644428-π/2
    0.810904513288856-1.57079632675     		φ = -0.75989181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68391575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.185486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75989181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.538594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79803 KachelY 83179 0.68391575 -0.75989181 39.185486 -43.538594
    Oben rechts KachelX + 1 79804 KachelY 83179 0.68396368 -0.75989181 39.188232 -43.538594
    Unten links KachelX 79803 KachelY + 1 83180 0.68391575 -0.75992656 39.185486 -43.540585
    Unten rechts KachelX + 1 79804 KachelY + 1 83180 0.68396368 -0.75992656 39.188232 -43.540585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75989181--0.75992656) × R
    3.47500000000833e-05 × 6371000     		dl = 221.392250000531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75989181--0.75992656) × R
    3.47500000000833e-05 × 6371000     		dr = 221.392250000531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68391575-0.68396368) × cos(-0.75989181) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.724910540909776 × 6371000     		do = 221.36015434023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68391575-0.68396368) × cos(-0.75992656) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.724886603177111 × 6371000     		du = 221.35284466559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75989181)-sin(-0.75992656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724910540909776-0.724886603177111)×R²
    abs(0.68396368-0.68391575)×2.39377326648471e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39377326648471e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39377326648471e-05×40589641000000     		ar = 49006.6134822418m²