Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79803 / 82859
↖ ↑ ↗
← S 42.898101°
E 39.185486°		 ← 223.70 m → S 42.898101°
E 39.188232°		 →
↑
223.75 m
↓
↑
223.75 m
↓
S 42.900113°
E 39.185486°		 ← 223.69 m →
50 051 m²		 S 42.900113°
E 39.188232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608852386474609 y=0.632167816162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608852386474609 × 217)
    floor (0.608852386474609 × 131072)
    floor (79803.5)     		tx = 79803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632167816162109 × 217)
    floor (0.632167816162109 × 131072)
    floor (82859.5)     		ty = 82859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79803 / 82859 ti = "17/79803/82859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79803/82859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79803 ÷ 217
    79803 ÷ 131072     		x = 0.608848571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82859 ÷ 217
    82859 ÷ 131072     		y = 0.632164001464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608848571777344 × 2 - 1) × π
    0.217697143554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.68391575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632164001464844 × 2 - 1) × π
    -0.264328002929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.830410912118233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68391575} λ = 0.68391575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830410912118233))-π/2
    2×atan(0.43587014519379)-π/2
    2×0.411041613922909-π/2
    0.822083227845817-1.57079632675     		φ = -0.74871310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68391575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.185486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74871310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.898101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79803 KachelY 82859 0.68391575 -0.74871310 39.185486 -42.898101
    Oben rechts KachelX + 1 79804 KachelY 82859 0.68396368 -0.74871310 39.188232 -42.898101
    Unten links KachelX 79803 KachelY + 1 82860 0.68391575 -0.74874822 39.185486 -42.900113
    Unten rechts KachelX + 1 79804 KachelY + 1 82860 0.68396368 -0.74874822 39.188232 -42.900113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74871310--0.74874822) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dl = 223.749519999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74871310--0.74874822) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dr = 223.749519999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68391575-0.68396368) × cos(-0.74871310) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.732565463672839 × 6371000     		do = 223.697677094648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68391575-0.68396368) × cos(-0.74874822) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.732541557156985 × 6371000     		du = 223.690376952437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74871310)-sin(-0.74874822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732565463672839-0.732541557156985)×R²
    abs(0.68396368-0.68391575)×2.39065158542662e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39065158542662e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39065158542662e-05×40589641000000     		ar = 50051.4311785001m²