Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79802 / 83203
↖ ↑ ↗
← S 43.586359°
E 39.182739°		 ← 221.23 m → S 43.586359°
E 39.185486°		 →
↑
221.20 m
↓
↑
221.20 m
↓
S 43.588349°
E 39.182739°		 ← 221.22 m →
48 936 m²		 S 43.588349°
E 39.185486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608844757080078 y=0.634792327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608844757080078 × 217)
    floor (0.608844757080078 × 131072)
    floor (79802.5)     		tx = 79802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634792327880859 × 217)
    floor (0.634792327880859 × 131072)
    floor (83203.5)     		ty = 83203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79802 / 83203 ti = "17/79802/83203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79802/83203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79802 ÷ 217
    79802 ÷ 131072     		x = 0.608840942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83203 ÷ 217
    83203 ÷ 131072     		y = 0.634788513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608840942382812 × 2 - 1) × π
    0.217681884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68386781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634788513183594 × 2 - 1) × π
    -0.269577026367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.846901205587532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68386781} λ = 0.68386781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846901205587532))-π/2
    2×atan(0.428741457204681)-π/2
    2×0.405035422321377-π/2
    0.810070844642755-1.57079632675     		φ = -0.76072548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68386781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.182739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76072548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.586359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79802 KachelY 83203 0.68386781 -0.76072548 39.182739 -43.586359
    Oben rechts KachelX + 1 79803 KachelY 83203 0.68391575 -0.76072548 39.185486 -43.586359
    Unten links KachelX 79802 KachelY + 1 83204 0.68386781 -0.76076020 39.182739 -43.588349
    Unten rechts KachelX + 1 79803 KachelY + 1 83204 0.68391575 -0.76076020 39.185486 -43.588349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76072548--0.76076020) × R
    3.47200000000436e-05 × 6371000     		dl = 221.201120000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76072548--0.76076020) × R
    3.47200000000436e-05 × 6371000     		dr = 221.201120000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68386781-0.68391575) × cos(-0.76072548) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.724336021306467 × 6371000     		do = 221.230865316551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68386781-0.68391575) × cos(-0.76076020) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.724312083265956 × 6371000     		du = 221.223554022813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76072548)-sin(-0.76076020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724336021306467-0.724312083265956)×R²
    abs(0.68391575-0.68386781)×2.3938040510818e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3938040510818e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3938040510818e-05×40589641000000     		ar = 48935.7065583529m²