Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79801 / 83204
↖ ↑ ↗
← S 43.588349°
E 39.179992°		 ← 221.22 m → S 43.588349°
E 39.182739°		 →
↑
221.20 m
↓
↑
221.20 m
↓
S 43.590338°
E 39.179992°		 ← 221.22 m →
48 934 m²		 S 43.590338°
E 39.182739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608837127685547 y=0.634799957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608837127685547 × 217)
    floor (0.608837127685547 × 131072)
    floor (79801.5)     		tx = 79801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634799957275391 × 217)
    floor (0.634799957275391 × 131072)
    floor (83204.5)     		ty = 83204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79801 / 83204 ti = "17/79801/83204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79801/83204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79801 ÷ 217
    79801 ÷ 131072     		x = 0.608833312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83204 ÷ 217
    83204 ÷ 131072     		y = 0.634796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608833312988281 × 2 - 1) × π
    0.217666625976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.68381987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.26959228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.846949142487152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68381987} λ = 0.68381987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846949142487152))-π/2
    2×atan(0.428720905161089)-π/2
    2×0.405018061396735-π/2
    0.810036122793469-1.57079632675     		φ = -0.76076020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68381987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.179992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76076020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.588349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79801 KachelY 83204 0.68381987 -0.76076020 39.179992 -43.588349
    Oben rechts KachelX + 1 79802 KachelY 83204 0.68386781 -0.76076020 39.182739 -43.588349
    Unten links KachelX 79801 KachelY + 1 83205 0.68381987 -0.76079492 39.179992 -43.590338
    Unten rechts KachelX + 1 79802 KachelY + 1 83205 0.68386781 -0.76079492 39.182739 -43.590338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76076020--0.76079492) × R
    3.47200000000436e-05 × 6371000     		dl = 221.201120000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76076020--0.76079492) × R
    3.47200000000436e-05 × 6371000     		dr = 221.201120000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68381987-0.68386781) × cos(-0.76076020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724312083265956 × 6371000     		do = 221.223554022301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68381987-0.68386781) × cos(-0.76079492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724288144352302 × 6371000     		du = 221.216242461884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76076020)-sin(-0.76079492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724312083265956-0.724288144352302)×R²
    abs(0.68386781-0.68381987)×2.39389136533763e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39389136533763e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39389136533763e-05×40589641000000     		ar = 48934.0892623674m²