Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79801 / 18825
↖ ↑ ↗
← N 77.836641°
E 39.179992°		 ← 64.35 m → N 77.836641°
E 39.182739°		 →
↑
64.35 m
↓
↑
64.35 m
↓
N 77.836062°
E 39.179992°		 ← 64.36 m →
4 141 m²		 N 77.836062°
E 39.182739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608837127685547 y=0.143627166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608837127685547 × 217)
    floor (0.608837127685547 × 131072)
    floor (79801.5)     		tx = 79801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143627166748047 × 217)
    floor (0.143627166748047 × 131072)
    floor (18825.5)     		ty = 18825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79801 / 18825 ti = "17/79801/18825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79801/18825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79801 ÷ 217
    79801 ÷ 131072     		x = 0.608833312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18825 ÷ 217
    18825 ÷ 131072     		y = 0.143623352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608833312988281 × 2 - 1) × π
    0.217666625976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.68381987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143623352050781 × 2 - 1) × π
    0.712753295898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.23918051815244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68381987} λ = 0.68381987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23918051815244))-π/2
    2×atan(9.3856367761514)-π/2
    2×1.46465099120903-π/2
    2.92930198241805-1.57079632675     		φ = 1.35850566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68381987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.179992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35850566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.836641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79801 KachelY 18825 0.68381987 1.35850566 39.179992 77.836641
    Oben rechts KachelX + 1 79802 KachelY 18825 0.68386781 1.35850566 39.182739 77.836641
    Unten links KachelX 79801 KachelY + 1 18826 0.68381987 1.35849556 39.179992 77.836062
    Unten rechts KachelX + 1 79802 KachelY + 1 18826 0.68386781 1.35849556 39.182739 77.836062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35850566-1.35849556) × R
    1.01000000001239e-05 × 6371000     		dl = 64.3471000007894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35850566-1.35849556) × R
    1.01000000001239e-05 × 6371000     		dr = 64.3471000007894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68381987-0.68386781) × cos(1.35850566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210699693917206 × 6371000     		do = 64.3531099323939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68381987-0.68386781) × cos(1.35849556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210709567169913 × 6371000     		du = 64.3561254779082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35850566)-sin(1.35849556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210699693917206-0.210709567169913)×R²
    abs(0.68386781-0.68381987)×9.8732527072376e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.8732527072376e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.8732527072376e-06×40589641000000     		ar = 4141.03302111994m²