Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79800 / 83202
↖ ↑ ↗
← S 43.584370°
E 39.177246°		 ← 221.19 m → S 43.584370°
E 39.179992°		 →
↑
221.20 m
↓
↑
221.20 m
↓
S 43.586359°
E 39.177246°		 ← 221.18 m →
48 927 m²		 S 43.586359°
E 39.179992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608829498291016 y=0.634784698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608829498291016 × 217)
    floor (0.608829498291016 × 131072)
    floor (79800.5)     		tx = 79800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634784698486328 × 217)
    floor (0.634784698486328 × 131072)
    floor (83202.5)     		ty = 83202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79800 / 83202 ti = "17/79800/83202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79800/83202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79800 ÷ 217
    79800 ÷ 131072     		x = 0.60882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83202 ÷ 217
    83202 ÷ 131072     		y = 0.634780883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60882568359375 × 2 - 1) × π
    0.2176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68377194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634780883789062 × 2 - 1) × π
    -0.269561767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.846853268687912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68377194} λ = 0.68377194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846853268687912))-π/2
    2×atan(0.428762010233498)-π/2
    2×0.405052783819807-π/2
    0.810105567639615-1.57079632675     		φ = -0.76069076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68377194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.177246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76069076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.584370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79800 KachelY 83202 0.68377194 -0.76069076 39.177246 -43.584370
    Oben rechts KachelX + 1 79801 KachelY 83202 0.68381987 -0.76069076 39.179992 -43.584370
    Unten links KachelX 79800 KachelY + 1 83203 0.68377194 -0.76072548 39.177246 -43.586359
    Unten rechts KachelX + 1 79801 KachelY + 1 83203 0.68381987 -0.76072548 39.179992 -43.586359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76069076--0.76072548) × R
    3.47199999999326e-05 × 6371000     		dl = 221.20111999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76069076--0.76072548) × R
    3.47199999999326e-05 × 6371000     		dr = 221.20111999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68377194-0.68381987) × cos(-0.76069076) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.724359958473806 × 6371000     		do = 221.192027370413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68377194-0.68381987) × cos(-0.76072548) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.724336021306467 × 6371000     		du = 221.184717868401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76069076)-sin(-0.76072548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724359958473806-0.724336021306467)×R²
    abs(0.68381987-0.68377194)×2.3937167339394e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3937167339394e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3937167339394e-05×40589641000000     		ar = 48927.115759145m²