Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79800 / 18840
↖ ↑ ↗
← N 77.827957°
E 39.177246°		 ← 64.38 m → N 77.827957°
E 39.179992°		 →
↑
64.41 m
↓
↑
64.41 m
↓
N 77.827378°
E 39.177246°		 ← 64.39 m →
4 147 m²		 N 77.827378°
E 39.179992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608829498291016 y=0.143741607666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608829498291016 × 217)
    floor (0.608829498291016 × 131072)
    floor (79800.5)     		tx = 79800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143741607666016 × 217)
    floor (0.143741607666016 × 131072)
    floor (18840.5)     		ty = 18840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79800 / 18840 ti = "17/79800/18840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79800/18840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79800 ÷ 217
    79800 ÷ 131072     		x = 0.60882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18840 ÷ 217
    18840 ÷ 131072     		y = 0.14373779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60882568359375 × 2 - 1) × π
    0.2176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68377194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14373779296875 × 2 - 1) × π
    0.7125244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23846146465814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68377194} λ = 0.68377194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23846146465814))-π/2
    2×atan(9.37889042701491)-π/2
    2×1.46457521240243-π/2
    2.92915042480486-1.57079632675     		φ = 1.35835410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68377194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.177246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35835410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.827957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79800 KachelY 18840 0.68377194 1.35835410 39.177246 77.827957
    Oben rechts KachelX + 1 79801 KachelY 18840 0.68381987 1.35835410 39.179992 77.827957
    Unten links KachelX 79800 KachelY + 1 18841 0.68377194 1.35834399 39.177246 77.827378
    Unten rechts KachelX + 1 79801 KachelY + 1 18841 0.68381987 1.35834399 39.179992 77.827378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35835410-1.35834399) × R
    1.01099999998411e-05 × 6371000     		dl = 64.4108099989875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35835410-1.35834399) × R
    1.01099999998411e-05 × 6371000     		dr = 64.4108099989875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68377194-0.68381987) × cos(1.35835410) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210847849101568 × 6371000     		do = 64.3849272228278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68377194-0.68381987) × cos(1.35834399) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210857731806792 × 6371000     		du = 64.3879450257569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35835410)-sin(1.35834399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210847849101568-0.210857731806792)×R²
    abs(0.68381987-0.68377194)×9.88270522381263e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.88270522381263e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.88270522381263e-06×40589641000000     		ar = 4147.18250376516m²