Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79800 / 18824
↖ ↑ ↗
← N 77.837219°
E 39.177246°		 ← 64.34 m → N 77.837219°
E 39.179992°		 →
↑
64.35 m
↓
↑
64.35 m
↓
N 77.836641°
E 39.177246°		 ← 64.34 m →
4 140 m²		 N 77.836641°
E 39.179992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608829498291016 y=0.143619537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608829498291016 × 217)
    floor (0.608829498291016 × 131072)
    floor (79800.5)     		tx = 79800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143619537353516 × 217)
    floor (0.143619537353516 × 131072)
    floor (18824.5)     		ty = 18824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79800 / 18824 ti = "17/79800/18824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79800/18824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79800 ÷ 217
    79800 ÷ 131072     		x = 0.60882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18824 ÷ 217
    18824 ÷ 131072     		y = 0.14361572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60882568359375 × 2 - 1) × π
    0.2176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68377194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14361572265625 × 2 - 1) × π
    0.7127685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23922845505206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68377194} λ = 0.68377194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23922845505206))-π/2
    2×atan(9.38608670526343)-π/2
    2×1.46465604123584-π/2
    2.92931208247169-1.57079632675     		φ = 1.35851576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68377194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.177246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35851576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.837219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79800 KachelY 18824 0.68377194 1.35851576 39.177246 77.837219
    Oben rechts KachelX + 1 79801 KachelY 18824 0.68381987 1.35851576 39.179992 77.837219
    Unten links KachelX 79800 KachelY + 1 18825 0.68377194 1.35850566 39.177246 77.836641
    Unten rechts KachelX + 1 79801 KachelY + 1 18825 0.68381987 1.35850566 39.179992 77.836641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35851576-1.35850566) × R
    1.00999999999019e-05 × 6371000     		dl = 64.3470999993747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35851576-1.35850566) × R
    1.00999999999019e-05 × 6371000     		dr = 64.3470999993747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68377194-0.68381987) × cos(1.35851576) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210689820643005 × 6371000     		do = 64.3366713319234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68377194-0.68381987) × cos(1.35850566) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210699693917206 × 6371000     		du = 64.339686254976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35851576)-sin(1.35850566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210689820643005-0.210699693917206)×R²
    abs(0.68381987-0.68377194)×9.87327420051698e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.87327420051698e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.87327420051698e-06×40589641000000     		ar = 4139.97522451317m²