Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7980 / 4004
↖ ↑ ↗
← N 67.305976°
W  4.658203°		 ← 942.62 m → N 67.305976°
W  4.636231°		 →
↑
942.78 m
↓
↑
942.78 m
↓
N 67.297497°
W  4.658203°		 ← 942.95 m →
888 838 m²		 N 67.297497°
W  4.636231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487091064453125 y=0.244415283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487091064453125 × 214)
    floor (0.487091064453125 × 16384)
    floor (7980.5)     		tx = 7980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244415283203125 × 214)
    floor (0.244415283203125 × 16384)
    floor (4004.5)     		ty = 4004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7980 / 4004 ti = "14/7980/4004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7980/4004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7980 ÷ 214
    7980 ÷ 16384     		x = 0.487060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4004 ÷ 214
    4004 ÷ 16384     		y = 0.244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487060546875 × 2 - 1) × π
    -0.02587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08130098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244384765625 × 2 - 1) × π
    0.51123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.60607788487036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08130098} λ = -0.08130098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60607788487036))-π/2
    2×atan(4.98322805505926)-π/2
    2×1.37275360488998-π/2
    2.74550720977995-1.57079632675     		φ = 1.17471088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08130098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.658203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17471088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.305976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7980 KachelY 4004 -0.08130098 1.17471088 -4.658203 67.305976
    Oben rechts KachelX + 1 7981 KachelY 4004 -0.08091749 1.17471088 -4.636231 67.305976
    Unten links KachelX 7980 KachelY + 1 4005 -0.08130098 1.17456290 -4.658203 67.297497
    Unten rechts KachelX + 1 7981 KachelY + 1 4005 -0.08091749 1.17456290 -4.636231 67.297497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17471088-1.17456290) × R
    0.000147979999999936 × 6371000     		dl = 942.780579999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17471088-1.17456290) × R
    0.000147979999999936 × 6371000     		dr = 942.780579999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08130098--0.08091749) × cos(1.17471088) × R
    0.00038349 × 0.385809825584531 × 6371000     		do = 942.616271995448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08130098--0.08091749) × cos(1.17456290) × R
    0.00038349 × 0.38594634450134 × 6371000     		du = 942.949817032109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17471088)-sin(1.17456290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385809825584531-0.38594634450134)×R²
    abs(-0.08091749--0.08130098)×0.00013651891680827×R²
    0.00038349×0.00013651891680827×6371000²
    0.00038349×0.00013651891680827×40589641000000     		ar = 888837.547142033m²