Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 798 / 749
↖ ↑ ↗
← S 63.704723°
E100.546875°		 ← 17.318 km → S 63.704723°
E100.898437°		 →
↑
17.270 km
↓
↑
17.270 km
↓
S 63.860036°
E100.546875°		 ← 17.223 km →
298.256 km²		 S 63.860036°
E100.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77978515625 y=0.73193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77978515625 × 210)
    floor (0.77978515625 × 1024)
    floor (798.5)     		tx = 798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73193359375 × 210)
    floor (0.73193359375 × 1024)
    floor (749.5)     		ty = 749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 798 / 749 ti = "10/798/749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/798/749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 798 ÷ 210
    798 ÷ 1024     		x = 0.779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 749 ÷ 210
    749 ÷ 1024     		y = 0.7314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779296875 × 2 - 1) × π
    0.55859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75487402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7314453125 × 2 - 1) × π
    -0.462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45421378687402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75487402} λ = 1.75487402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45421378687402))-π/2
    2×atan(0.233583938485776)-π/2
    2×0.229469585675309-π/2
    0.458939171350619-1.57079632675     		φ = -1.11185716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75487402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11185716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.704723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 798 KachelY 749 1.75487402 -1.11185716 100.546875 -63.704723
    Oben rechts KachelX + 1 799 KachelY 749 1.76100994 -1.11185716 100.898437 -63.704723
    Unten links KachelX 798 KachelY + 1 750 1.75487402 -1.11456789 100.546875 -63.860036
    Unten rechts KachelX + 1 799 KachelY + 1 750 1.76100994 -1.11456789 100.898437 -63.860036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11185716--1.11456789) × R
    0.00271072999999999 × 6371000     		dl = 17270.06083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11185716--1.11456789) × R
    0.00271072999999999 × 6371000     		dr = 17270.06083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75487402-1.76100994) × cos(-1.11185716) × R
    0.00613592000000018 × 0.442997295098646 × 6371000     		do = 17317.626479902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75487402-1.76100994) × cos(-1.11456789) × R
    0.00613592000000018 × 0.44056543883997 × 6371000     		du = 17222.5604855799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11185716)-sin(-1.11456789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442997295098646-0.44056543883997)×R²
    abs(1.76100994-1.75487402)×0.00243185625867659×R²
    0.00613592000000018×0.00243185625867659×6371000²
    0.00613592000000018×0.00243185625867659×40589641000000     		ar = 298255747.620124m²