Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79799 / 83177
↖ ↑ ↗
← S 43.534612°
E 39.174500°		 ← 221.42 m → S 43.534612°
E 39.177246°		 →
↑
221.39 m
↓
↑
221.39 m
↓
S 43.536603°
E 39.174500°		 ← 221.41 m →
49 020 m²		 S 43.536603°
E 39.177246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608821868896484 y=0.634593963623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608821868896484 × 217)
    floor (0.608821868896484 × 131072)
    floor (79799.5)     		tx = 79799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634593963623047 × 217)
    floor (0.634593963623047 × 131072)
    floor (83177.5)     		ty = 83177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79799 / 83177 ti = "17/79799/83177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79799/83177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79799 ÷ 217
    79799 ÷ 131072     		x = 0.608818054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83177 ÷ 217
    83177 ÷ 131072     		y = 0.634590148925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608818054199219 × 2 - 1) × π
    0.217636108398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.68372400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634590148925781 × 2 - 1) × π
    -0.269180297851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.845654846197411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68372400} λ = 0.68372400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.845654846197411))-π/2
    2×atan(0.429276156290198)-π/2
    2×0.405487007755621-π/2
    0.810974015511243-1.57079632675     		φ = -0.75982231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68372400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.174500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75982231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.534612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79799 KachelY 83177 0.68372400 -0.75982231 39.174500 -43.534612
    Oben rechts KachelX + 1 79800 KachelY 83177 0.68377194 -0.75982231 39.177246 -43.534612
    Unten links KachelX 79799 KachelY + 1 83178 0.68372400 -0.75985706 39.174500 -43.536603
    Unten rechts KachelX + 1 79800 KachelY + 1 83178 0.68377194 -0.75985706 39.177246 -43.536603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75982231--0.75985706) × R
    3.47499999999723e-05 × 6371000     		dl = 221.392249999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75982231--0.75985706) × R
    3.47499999999723e-05 × 6371000     		dr = 221.392249999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68372400-0.68377194) × cos(-0.75982231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724958413748952 × 6371000     		do = 221.420959988355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68372400-0.68377194) × cos(-0.75985706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724934477767066 × 6371000     		du = 221.413649323374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75982231)-sin(-0.75985706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724958413748952-0.724934477767066)×R²
    abs(0.68377194-0.68372400)×2.39359818862139e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39359818862139e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39359818862139e-05×40589641000000     		ar = 49020.0752716523m²