Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79798 / 83059
↖ ↑ ↗
← S 43.299198°
E 39.171753°		 ← 222.28 m → S 43.299198°
E 39.174500°		 →
↑
222.22 m
↓
↑
222.22 m
↓
S 43.301196°
E 39.171753°		 ← 222.28 m →
49 395 m²		 S 43.301196°
E 39.174500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608814239501953 y=0.633693695068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608814239501953 × 217)
    floor (0.608814239501953 × 131072)
    floor (79798.5)     		tx = 79798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633693695068359 × 217)
    floor (0.633693695068359 × 131072)
    floor (83059.5)     		ty = 83059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79798 / 83059 ti = "17/79798/83059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79798/83059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79798 ÷ 217
    79798 ÷ 131072     		x = 0.608810424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83059 ÷ 217
    83059 ÷ 131072     		y = 0.633689880371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608810424804688 × 2 - 1) × π
    0.217620849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68367606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633689880371094 × 2 - 1) × π
    -0.267379760742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.839998292042244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68367606} λ = 0.68367606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839998292042244))-π/2
    2×atan(0.431711260773046)-π/2
    2×0.407541384779199-π/2
    0.815082769558398-1.57079632675     		φ = -0.75571356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68367606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.171753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75571356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.299198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79798 KachelY 83059 0.68367606 -0.75571356 39.171753 -43.299198
    Oben rechts KachelX + 1 79799 KachelY 83059 0.68372400 -0.75571356 39.174500 -43.299198
    Unten links KachelX 79798 KachelY + 1 83060 0.68367606 -0.75574844 39.171753 -43.301196
    Unten rechts KachelX + 1 79799 KachelY + 1 83060 0.68372400 -0.75574844 39.174500 -43.301196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75571356--0.75574844) × R
    3.48799999999594e-05 × 6371000     		dl = 222.220479999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75571356--0.75574844) × R
    3.48799999999594e-05 × 6371000     		dr = 222.220479999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68367606-0.68372400) × cos(-0.75571356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727782363235548 × 6371000     		do = 222.28346685002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68367606-0.68372400) × cos(-0.75574844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727758441804231 × 6371000     		du = 222.276160629159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75571356)-sin(-0.75574844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727782363235548-0.727758441804231)×R²
    abs(0.68372400-0.68367606)×2.39214313169089e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39214313169089e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39214313169089e-05×40589641000000     		ar = 49395.1269085502m²