Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79796 / 83388
↖ ↑ ↗
← S 43.953282°
E 39.166260°		 ← 219.88 m → S 43.953282°
E 39.169007°		 →
↑
219.86 m
↓
↑
219.86 m
↓
S 43.955259°
E 39.166260°		 ← 219.87 m →
48 342 m²		 S 43.955259°
E 39.169007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608798980712891 y=0.636203765869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608798980712891 × 217)
    floor (0.608798980712891 × 131072)
    floor (79796.5)     		tx = 79796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636203765869141 × 217)
    floor (0.636203765869141 × 131072)
    floor (83388.5)     		ty = 83388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79796 / 83388 ti = "17/79796/83388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79796/83388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79796 ÷ 217
    79796 ÷ 131072     		x = 0.608795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83388 ÷ 217
    83388 ÷ 131072     		y = 0.636199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608795166015625 × 2 - 1) × π
    0.21759033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68358019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636199951171875 × 2 - 1) × π
    -0.27239990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.855769532017242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68358019} λ = 0.68358019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855769532017242))-π/2
    2×atan(0.424956047940046)-π/2
    2×0.401833419061127-π/2
    0.803666838122255-1.57079632675     		φ = -0.76712949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68358019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.166260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76712949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.953282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79796 KachelY 83388 0.68358019 -0.76712949 39.166260 -43.953282
    Oben rechts KachelX + 1 79797 KachelY 83388 0.68362813 -0.76712949 39.169007 -43.953282
    Unten links KachelX 79796 KachelY + 1 83389 0.68358019 -0.76716400 39.166260 -43.955259
    Unten rechts KachelX + 1 79797 KachelY + 1 83389 0.68362813 -0.76716400 39.169007 -43.955259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76712949--0.76716400) × R
    3.45099999999876e-05 × 6371000     		dl = 219.863209999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76712949--0.76716400) × R
    3.45099999999876e-05 × 6371000     		dr = 219.863209999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68358019-0.68362813) × cos(-0.76712949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.719905972302487 × 6371000     		do = 219.877814320762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68358019-0.68362813) × cos(-0.76716400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.719882019462766 × 6371000     		du = 219.870498506966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76712949)-sin(-0.76716400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719905972302487-0.719882019462766)×R²
    abs(0.68362813-0.68358019)×2.39528397208977e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39528397208977e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39528397208977e-05×40589641000000     		ar = 48342.2378298916m²