Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79796 / 83061
↖ ↑ ↗
← S 43.303195°
E 39.166260°		 ← 222.27 m → S 43.303195°
E 39.169007°		 →
↑
222.22 m
↓
↑
222.22 m
↓
S 43.305194°
E 39.166260°		 ← 222.26 m →
49 392 m²		 S 43.305194°
E 39.169007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608798980712891 y=0.633708953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608798980712891 × 217)
    floor (0.608798980712891 × 131072)
    floor (79796.5)     		tx = 79796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633708953857422 × 217)
    floor (0.633708953857422 × 131072)
    floor (83061.5)     		ty = 83061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79796 / 83061 ti = "17/79796/83061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79796/83061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79796 ÷ 217
    79796 ÷ 131072     		x = 0.608795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83061 ÷ 217
    83061 ÷ 131072     		y = 0.633705139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608795166015625 × 2 - 1) × π
    0.21759033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68358019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633705139160156 × 2 - 1) × π
    -0.267410278320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.840094165841484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68358019} λ = 0.68358019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840094165841484))-π/2
    2×atan(0.431669872958336)-π/2
    2×0.407506498295969-π/2
    0.815012996591937-1.57079632675     		φ = -0.75578333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68358019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.166260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75578333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.303195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79796 KachelY 83061 0.68358019 -0.75578333 39.166260 -43.303195
    Oben rechts KachelX + 1 79797 KachelY 83061 0.68362813 -0.75578333 39.169007 -43.303195
    Unten links KachelX 79796 KachelY + 1 83062 0.68358019 -0.75581821 39.166260 -43.305194
    Unten rechts KachelX + 1 79797 KachelY + 1 83062 0.68362813 -0.75581821 39.169007 -43.305194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75578333--0.75581821) × R
    3.48800000000704e-05 × 6371000     		dl = 222.220480000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75578333--0.75581821) × R
    3.48800000000704e-05 × 6371000     		dr = 222.220480000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68358019-0.68362813) × cos(-0.75578333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727734512628924 × 6371000     		do = 222.268852043083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68358019-0.68362813) × cos(-0.75581821) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727710589426579 × 6371000     		du = 222.261545281303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75578333)-sin(-0.75581821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727734512628924-0.727710589426579)×R²
    abs(0.68362813-0.68358019)×2.39232023445668e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39232023445668e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39232023445668e-05×40589641000000     		ar = 49391.8791391225m²