Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79795 / 83173
↖ ↑ ↗
← S 43.526646°
E 39.163513°		 ← 221.45 m → S 43.526646°
E 39.166260°		 →
↑
221.46 m
↓
↑
221.46 m
↓
S 43.528638°
E 39.163513°		 ← 221.44 m →
49 041 m²		 S 43.528638°
E 39.166260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608791351318359 y=0.634563446044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608791351318359 × 217)
    floor (0.608791351318359 × 131072)
    floor (79795.5)     		tx = 79795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634563446044922 × 217)
    floor (0.634563446044922 × 131072)
    floor (83173.5)     		ty = 83173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79795 / 83173 ti = "17/79795/83173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79795/83173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79795 ÷ 217
    79795 ÷ 131072     		x = 0.608787536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83173 ÷ 217
    83173 ÷ 131072     		y = 0.634559631347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608787536621094 × 2 - 1) × π
    0.217575073242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.68353225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634559631347656 × 2 - 1) × π
    -0.269119262695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.84546309859893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68353225} λ = 0.68353225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84546309859893))-π/2
    2×atan(0.429358476854385)-π/2
    2×0.405556516862813-π/2
    0.811113033725627-1.57079632675     		φ = -0.75968329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68353225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.163513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75968329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.526646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79795 KachelY 83173 0.68353225 -0.75968329 39.163513 -43.526646
    Oben rechts KachelX + 1 79796 KachelY 83173 0.68358019 -0.75968329 39.166260 -43.526646
    Unten links KachelX 79795 KachelY + 1 83174 0.68353225 -0.75971805 39.163513 -43.528638
    Unten rechts KachelX + 1 79796 KachelY + 1 83174 0.68358019 -0.75971805 39.166260 -43.528638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75968329--0.75971805) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dl = 221.455960000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75968329--0.75971805) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dr = 221.455960000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68353225-0.68358019) × cos(-0.75968329) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.72505416269572 × 6371000     		do = 221.450204181788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68353225-0.68358019) × cos(-0.75971805) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.725030223329071 × 6371000     		du = 221.442892483014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75968329)-sin(-0.75971805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72505416269572-0.725030223329071)×R²
    abs(0.68358019-0.68353225)×2.39393666491283e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39393666491283e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39393666491283e-05×40589641000000     		ar = 49040.6579545289m²