Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79795 / 82914
↖ ↑ ↗
← S 43.008664°
E 39.163513°		 ← 223.34 m → S 43.008664°
E 39.166260°		 →
↑
223.30 m
↓
↑
223.30 m
↓
S 43.010673°
E 39.163513°		 ← 223.34 m →
49 872 m²		 S 43.010673°
E 39.166260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608791351318359 y=0.632587432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608791351318359 × 217)
    floor (0.608791351318359 × 131072)
    floor (79795.5)     		tx = 79795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632587432861328 × 217)
    floor (0.632587432861328 × 131072)
    floor (82914.5)     		ty = 82914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79795 / 82914 ti = "17/79795/82914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79795/82914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79795 ÷ 217
    79795 ÷ 131072     		x = 0.608787536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82914 ÷ 217
    82914 ÷ 131072     		y = 0.632583618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608787536621094 × 2 - 1) × π
    0.217575073242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.68353225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632583618164062 × 2 - 1) × π
    -0.265167236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.833047441597336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68353225} λ = 0.68353225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833047441597336))-π/2
    2×atan(0.434722474305806)-π/2
    2×0.410076765355955-π/2
    0.820153530711909-1.57079632675     		φ = -0.75064280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68353225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.163513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75064280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.008664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79795 KachelY 82914 0.68353225 -0.75064280 39.163513 -43.008664
    Oben rechts KachelX + 1 79796 KachelY 82914 0.68358019 -0.75064280 39.166260 -43.008664
    Unten links KachelX 79795 KachelY + 1 82915 0.68353225 -0.75067785 39.163513 -43.010673
    Unten rechts KachelX + 1 79796 KachelY + 1 82915 0.68358019 -0.75067785 39.166260 -43.010673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75064280--0.75067785) × R
    3.50499999999254e-05 × 6371000     		dl = 223.303549999525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75064280--0.75067785) × R
    3.50499999999254e-05 × 6371000     		dr = 223.303549999525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68353225-0.68358019) × cos(-0.75064280) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.731250560345122 × 6371000     		do = 223.342743519194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68353225-0.68358019) × cos(-0.75067785) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.731226651977301 × 6371000     		du = 223.33544128826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75064280)-sin(-0.75067785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731250560345122-0.731226651977301)×R²
    abs(0.68358019-0.68353225)×2.39083678211793e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39083678211793e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39083678211793e-05×40589641000000     		ar = 49872.4121924384m²