Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79794 / 83171
↖ ↑ ↗
← S 43.522664°
E 39.160766°		 ← 221.46 m → S 43.522664°
E 39.163513°		 →
↑
221.46 m
↓
↑
221.46 m
↓
S 43.524655°
E 39.160766°		 ← 221.46 m →
49 044 m²		 S 43.524655°
E 39.163513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608783721923828 y=0.634548187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608783721923828 × 217)
    floor (0.608783721923828 × 131072)
    floor (79794.5)     		tx = 79794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634548187255859 × 217)
    floor (0.634548187255859 × 131072)
    floor (83171.5)     		ty = 83171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79794 / 83171 ti = "17/79794/83171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79794/83171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79794 ÷ 217
    79794 ÷ 131072     		x = 0.608779907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83171 ÷ 217
    83171 ÷ 131072     		y = 0.634544372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608779907226562 × 2 - 1) × π
    0.217559814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68348431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634544372558594 × 2 - 1) × π
    -0.269088745117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.84536722479969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68348431} λ = 0.68348431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84536722479969))-π/2
    2×atan(0.429399643056145)-π/2
    2×0.40559127485878-π/2
    0.811182549717559-1.57079632675     		φ = -0.75961378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68348431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.160766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75961378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.522664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79794 KachelY 83171 0.68348431 -0.75961378 39.160766 -43.522664
    Oben rechts KachelX + 1 79795 KachelY 83171 0.68353225 -0.75961378 39.163513 -43.522664
    Unten links KachelX 79794 KachelY + 1 83172 0.68348431 -0.75964854 39.160766 -43.524655
    Unten rechts KachelX + 1 79795 KachelY + 1 83172 0.68353225 -0.75964854 39.163513 -43.524655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75961378--0.75964854) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dl = 221.455960000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75961378--0.75964854) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dr = 221.455960000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68348431-0.68353225) × cos(-0.75961378) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725102031914418 × 6371000     		do = 221.464824672819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68348431-0.68353225) × cos(-0.75964854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72507809429965 × 6371000     		du = 221.457513509115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75961378)-sin(-0.75964854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725102031914418-0.72507809429965)×R²
    abs(0.68353225-0.68348431)×2.39376147678216e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39376147678216e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39376147678216e-05×40589641000000     		ar = 49043.8958087155m²