Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79791 / 84069
↖ ↑ ↗
← S 45.284550°
E 39.152527°		 ← 214.89 m → S 45.284550°
E 39.155273°		 →
↑
214.89 m
↓
↑
214.89 m
↓
S 45.286482°
E 39.152527°		 ← 214.89 m →
46 178 m²		 S 45.286482°
E 39.155273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608760833740234 y=0.641399383544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608760833740234 × 217)
    floor (0.608760833740234 × 131072)
    floor (79791.5)     		tx = 79791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641399383544922 × 217)
    floor (0.641399383544922 × 131072)
    floor (84069.5)     		ty = 84069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79791 / 84069 ti = "17/79791/84069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79791/84069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79791 ÷ 217
    79791 ÷ 131072     		x = 0.608757019042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84069 ÷ 217
    84069 ÷ 131072     		y = 0.641395568847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608757019042969 × 2 - 1) × π
    0.217514038085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.68334050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641395568847656 × 2 - 1) × π
    -0.282791137695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.888414560658501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68334050} λ = 0.68334050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888414560658501))-π/2
    2×atan(0.411307338927264)-π/2
    2×0.390215918458267-π/2
    0.780431836916533-1.57079632675     		φ = -0.79036449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68334050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.152527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79036449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.284550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79791 KachelY 84069 0.68334050 -0.79036449 39.152527 -45.284550
    Oben rechts KachelX + 1 79792 KachelY 84069 0.68338844 -0.79036449 39.155273 -45.284550
    Unten links KachelX 79791 KachelY + 1 84070 0.68334050 -0.79039822 39.152527 -45.286482
    Unten rechts KachelX + 1 79792 KachelY + 1 84070 0.68338844 -0.79039822 39.155273 -45.286482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79036449--0.79039822) × R
    3.37300000000651e-05 × 6371000     		dl = 214.893830000415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79036449--0.79039822) × R
    3.37300000000651e-05 × 6371000     		dr = 214.893830000415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68334050-0.68338844) × cos(-0.79036449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703586352239739 × 6371000     		do = 214.893382286582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68334050-0.68338844) × cos(-0.79039822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703562382971969 × 6371000     		du = 214.886061455236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79036449)-sin(-0.79039822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703586352239739-0.703562382971969)×R²
    abs(0.68338844-0.68334050)×2.39692677707071e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39692677707071e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39692677707071e-05×40589641000000     		ar = 46178.4753651047m²