Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79790 / 83066
↖ ↑ ↗
← S 43.313188°
E 39.149780°		 ← 222.19 m → S 43.313188°
E 39.152527°		 →
↑
222.22 m
↓
↑
222.22 m
↓
S 43.315186°
E 39.149780°		 ← 222.18 m →
49 373 m²		 S 43.315186°
E 39.152527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608753204345703 y=0.633747100830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608753204345703 × 217)
    floor (0.608753204345703 × 131072)
    floor (79790.5)     		tx = 79790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633747100830078 × 217)
    floor (0.633747100830078 × 131072)
    floor (83066.5)     		ty = 83066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79790 / 83066 ti = "17/79790/83066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79790/83066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79790 ÷ 217
    79790 ÷ 131072     		x = 0.608749389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83066 ÷ 217
    83066 ÷ 131072     		y = 0.633743286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608749389648438 × 2 - 1) × π
    0.217498779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68329257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633743286132812 × 2 - 1) × π
    -0.267486572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.840333850339584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68329257} λ = 0.68329257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840333850339584))-π/2
    2×atan(0.431566420779928)-π/2
    2×0.40741929212382-π/2
    0.814838584247639-1.57079632675     		φ = -0.75595774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68329257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.149780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75595774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.313188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79790 KachelY 83066 0.68329257 -0.75595774 39.149780 -43.313188
    Oben rechts KachelX + 1 79791 KachelY 83066 0.68334050 -0.75595774 39.152527 -43.313188
    Unten links KachelX 79790 KachelY + 1 83067 0.68329257 -0.75599262 39.149780 -43.315186
    Unten rechts KachelX + 1 79791 KachelY + 1 83067 0.68334050 -0.75599262 39.152527 -43.315186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75595774--0.75599262) × R
    3.48799999999594e-05 × 6371000     		dl = 222.220479999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75595774--0.75599262) × R
    3.48799999999594e-05 × 6371000     		dr = 222.220479999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68329257-0.68334050) × cos(-0.75595774) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.727614880904202 × 6371000     		do = 222.185957091251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68329257-0.68334050) × cos(-0.75599262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.727590953275179 × 6371000     		du = 222.17865050188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75595774)-sin(-0.75599262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727614880904202-0.727590953275179)×R²
    abs(0.68334050-0.68329257)×2.3927629023146e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3927629023146e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3927629023146e-05×40589641000000     		ar = 49373.458202101m²