Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79789 / 18862
↖ ↑ ↗
← N 77.815210°
E 39.147034°		 ← 64.46 m → N 77.815210°
E 39.149780°		 →
↑
64.47 m
↓
↑
64.47 m
↓
N 77.814630°
E 39.147034°		 ← 64.47 m →
4 156 m²		 N 77.814630°
E 39.149780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608745574951172 y=0.143909454345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608745574951172 × 217)
    floor (0.608745574951172 × 131072)
    floor (79789.5)     		tx = 79789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143909454345703 × 217)
    floor (0.143909454345703 × 131072)
    floor (18862.5)     		ty = 18862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79789 / 18862 ti = "17/79789/18862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79789/18862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79789 ÷ 217
    79789 ÷ 131072     		x = 0.608741760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18862 ÷ 217
    18862 ÷ 131072     		y = 0.143905639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608741760253906 × 2 - 1) × π
    0.217483520507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.68324463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143905639648438 × 2 - 1) × π
    0.712188720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2374068528665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68324463} λ = 0.68324463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2374068528665))-π/2
    2×atan(9.36900455237431)-π/2
    2×1.4644639737601-π/2
    2.92892794752019-1.57079632675     		φ = 1.35813162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68324463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.147034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35813162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.815210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79789 KachelY 18862 0.68324463 1.35813162 39.147034 77.815210
    Oben rechts KachelX + 1 79790 KachelY 18862 0.68329257 1.35813162 39.149780 77.815210
    Unten links KachelX 79789 KachelY + 1 18863 0.68324463 1.35812150 39.147034 77.814630
    Unten rechts KachelX + 1 79790 KachelY + 1 18863 0.68329257 1.35812150 39.149780 77.814630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35813162-1.35812150) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dl = 64.474520000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35813162-1.35812150) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dr = 64.474520000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68324463-0.68329257) × cos(1.35813162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211065322284696 × 6371000     		do = 64.4647822470996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68324463-0.68329257) × cos(1.35812150) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211075214290109 × 6371000     		du = 64.4678035201727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35813162)-sin(1.35812150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211065322284696-0.211075214290109)×R²
    abs(0.68329257-0.68324463)×9.89200541218205e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.89200541218205e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.89200541218205e-06×40589641000000     		ar = 4156.43328990615m²