Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79788 / 83196
↖ ↑ ↗
← S 43.572432°
E 39.144287°		 ← 221.28 m → S 43.572432°
E 39.147034°		 →
↑
221.26 m
↓
↑
221.26 m
↓
S 43.574422°
E 39.144287°		 ← 221.27 m →
48 961 m²		 S 43.574422°
E 39.147034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608737945556641 y=0.634738922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608737945556641 × 217)
    floor (0.608737945556641 × 131072)
    floor (79788.5)     		tx = 79788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634738922119141 × 217)
    floor (0.634738922119141 × 131072)
    floor (83196.5)     		ty = 83196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79788 / 83196 ti = "17/79788/83196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79788/83196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79788 ÷ 217
    79788 ÷ 131072     		x = 0.608734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83196 ÷ 217
    83196 ÷ 131072     		y = 0.634735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608734130859375 × 2 - 1) × π
    0.21746826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68319669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.26947021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.846565647290192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68319669} λ = 0.68319669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846565647290192))-π/2
    2×atan(0.428885349098769)-π/2
    2×0.405156964859811-π/2
    0.810313929719621-1.57079632675     		φ = -0.76048240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68319669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.144287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76048240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.572432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79788 KachelY 83196 0.68319669 -0.76048240 39.144287 -43.572432
    Oben rechts KachelX + 1 79789 KachelY 83196 0.68324463 -0.76048240 39.147034 -43.572432
    Unten links KachelX 79788 KachelY + 1 83197 0.68319669 -0.76051713 39.144287 -43.574422
    Unten rechts KachelX + 1 79789 KachelY + 1 83197 0.68324463 -0.76051713 39.147034 -43.574422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76048240--0.76051713) × R
    3.47299999999828e-05 × 6371000     		dl = 221.264829999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76048240--0.76051713) × R
    3.47299999999828e-05 × 6371000     		dr = 221.264829999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68319669-0.68324463) × cos(-0.76048240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724503590710468 × 6371000     		do = 221.282045325257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68319669-0.68324463) × cos(-0.76051713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724479651890808 × 6371000     		du = 221.274733793547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76048240)-sin(-0.76051713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724503590710468-0.724479651890808)×R²
    abs(0.68324463-0.68319669)×2.39388196605628e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39388196605628e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39388196605628e-05×40589641000000     		ar = 48961.125253527m²