Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79788 / 83082
↖ ↑ ↗
← S 43.345155°
E 39.144287°		 ← 222.12 m → S 43.345155°
E 39.147034°		 →
↑
222.09 m
↓
↑
222.09 m
↓
S 43.347152°
E 39.144287°		 ← 222.11 m →
49 329 m²		 S 43.347152°
E 39.147034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608737945556641 y=0.633869171142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608737945556641 × 217)
    floor (0.608737945556641 × 131072)
    floor (79788.5)     		tx = 79788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633869171142578 × 217)
    floor (0.633869171142578 × 131072)
    floor (83082.5)     		ty = 83082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79788 / 83082 ti = "17/79788/83082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79788/83082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79788 ÷ 217
    79788 ÷ 131072     		x = 0.608734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83082 ÷ 217
    83082 ÷ 131072     		y = 0.633865356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608734130859375 × 2 - 1) × π
    0.21746826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68319669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633865356445312 × 2 - 1) × π
    -0.267730712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.841100840733505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68319669} λ = 0.68319669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841100840733505))-π/2
    2×atan(0.431235540388113)-π/2
    2×0.407140328720878-π/2
    0.814280657441756-1.57079632675     		φ = -0.75651567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68319669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.144287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75651567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.345155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79788 KachelY 83082 0.68319669 -0.75651567 39.144287 -43.345155
    Oben rechts KachelX + 1 79789 KachelY 83082 0.68324463 -0.75651567 39.147034 -43.345155
    Unten links KachelX 79788 KachelY + 1 83083 0.68319669 -0.75655053 39.144287 -43.347152
    Unten rechts KachelX + 1 79789 KachelY + 1 83083 0.68324463 -0.75655053 39.147034 -43.347152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75651567--0.75655053) × R
    3.48600000000809e-05 × 6371000     		dl = 222.093060000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75651567--0.75655053) × R
    3.48600000000809e-05 × 6371000     		dr = 222.093060000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68319669-0.68324463) × cos(-0.75651567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727232035591184 × 6371000     		do = 222.115382621998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68319669-0.68324463) × cos(-0.75655053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727208107534639 × 6371000     		du = 222.108074377621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75651567)-sin(-0.75655053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727232035591184-0.727208107534639)×R²
    abs(0.68324463-0.68319669)×2.39280565452749e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39280565452749e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39280565452749e-05×40589641000000     		ar = 49329.473449517m²