Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79788 / 82892
↖ ↑ ↗
← S 42.964462°
E 39.144287°		 ← 223.50 m → S 42.964462°
E 39.147034°		 →
↑
223.49 m
↓
↑
223.49 m
↓
S 42.966472°
E 39.144287°		 ← 223.50 m →
49 951 m²		 S 42.966472°
E 39.147034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608737945556641 y=0.632419586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608737945556641 × 217)
    floor (0.608737945556641 × 131072)
    floor (79788.5)     		tx = 79788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632419586181641 × 217)
    floor (0.632419586181641 × 131072)
    floor (82892.5)     		ty = 82892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79788 / 82892 ti = "17/79788/82892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79788/82892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79788 ÷ 217
    79788 ÷ 131072     		x = 0.608734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82892 ÷ 217
    82892 ÷ 131072     		y = 0.632415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608734130859375 × 2 - 1) × π
    0.21746826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68319669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.26483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.831992829805695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68319669} λ = 0.68319669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831992829805695))-π/2
    2×atan(0.435181179588786)-π/2
    2×0.410462496774184-π/2
    0.820924993548367-1.57079632675     		φ = -0.74987133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68319669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.144287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74987133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.964462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79788 KachelY 82892 0.68319669 -0.74987133 39.144287 -42.964462
    Oben rechts KachelX + 1 79789 KachelY 82892 0.68324463 -0.74987133 39.147034 -42.964462
    Unten links KachelX 79788 KachelY + 1 82893 0.68319669 -0.74990641 39.144287 -42.966472
    Unten rechts KachelX + 1 79789 KachelY + 1 82893 0.68324463 -0.74990641 39.147034 -42.966472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74987133--0.74990641) × R
    3.50800000000762e-05 × 6371000     		dl = 223.494680000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74987133--0.74990641) × R
    3.50800000000762e-05 × 6371000     		dr = 223.494680000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68319669-0.68324463) × cos(-0.74987133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.731776569275922 × 6371000     		do = 223.503400185613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68319669-0.68324463) × cos(-0.74990641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.731752660240815 × 6371000     		du = 223.496097750873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74987133)-sin(-0.74990641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731776569275922-0.731752660240815)×R²
    abs(0.68324463-0.68319669)×2.39090351074056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39090351074056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39090351074056e-05×40589641000000     		ar = 49951.0048809604m²