Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79787 / 83165
↖ ↑ ↗
← S 43.510713°
E 39.141541°		 ← 221.46 m → S 43.510713°
E 39.144287°		 →
↑
221.52 m
↓
↑
221.52 m
↓
S 43.512705°
E 39.141541°		 ← 221.46 m →
49 057 m²		 S 43.512705°
E 39.144287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608730316162109 y=0.634502410888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608730316162109 × 217)
    floor (0.608730316162109 × 131072)
    floor (79787.5)     		tx = 79787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634502410888672 × 217)
    floor (0.634502410888672 × 131072)
    floor (83165.5)     		ty = 83165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79787 / 83165 ti = "17/79787/83165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79787/83165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79787 ÷ 217
    79787 ÷ 131072     		x = 0.608726501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83165 ÷ 217
    83165 ÷ 131072     		y = 0.634498596191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608726501464844 × 2 - 1) × π
    0.217453002929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.68314876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634498596191406 × 2 - 1) × π
    -0.268997192382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.84507960340197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68314876} λ = 0.68314876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84507960340197))-π/2
    2×atan(0.429523165344637)-π/2
    2×0.405695562615961-π/2
    0.811391125231922-1.57079632675     		φ = -0.75940520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68314876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.141541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75940520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.510713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79787 KachelY 83165 0.68314876 -0.75940520 39.141541 -43.510713
    Oben rechts KachelX + 1 79788 KachelY 83165 0.68319669 -0.75940520 39.144287 -43.510713
    Unten links KachelX 79787 KachelY + 1 83166 0.68314876 -0.75943997 39.141541 -43.512705
    Unten rechts KachelX + 1 79788 KachelY + 1 83166 0.68319669 -0.75943997 39.144287 -43.512705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75940520--0.75943997) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dl = 221.519669999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75940520--0.75943997) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dr = 221.519669999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68314876-0.68319669) × cos(-0.75940520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725245652973505 × 6371000     		do = 221.462484840801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68314876-0.68319669) × cos(-0.75943997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725221713731182 × 6371000     		du = 221.455174705168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75940520)-sin(-0.75943997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725245652973505-0.725221713731182)×R²
    abs(0.68319669-0.68314876)×2.39392423235785e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39392423235785e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39392423235785e-05×40589641000000     		ar = 49057.4868946617m²