Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79787 / 82884
↖ ↑ ↗
← S 42.948381°
E 39.141541°		 ← 223.52 m → S 42.948381°
E 39.144287°		 →
↑
223.56 m
↓
↑
223.56 m
↓
S 42.950392°
E 39.141541°		 ← 223.51 m →
49 968 m²		 S 42.950392°
E 39.144287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608730316162109 y=0.632358551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608730316162109 × 217)
    floor (0.608730316162109 × 131072)
    floor (79787.5)     		tx = 79787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632358551025391 × 217)
    floor (0.632358551025391 × 131072)
    floor (82884.5)     		ty = 82884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79787 / 82884 ti = "17/79787/82884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79787/82884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79787 ÷ 217
    79787 ÷ 131072     		x = 0.608726501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82884 ÷ 217
    82884 ÷ 131072     		y = 0.632354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608726501464844 × 2 - 1) × π
    0.217453002929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.68314876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632354736328125 × 2 - 1) × π
    -0.26470947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.831609334608734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68314876} λ = 0.68314876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831609334608734))-π/2
    2×atan(0.435348101485793)-π/2
    2×0.410602831510482-π/2
    0.821205663020964-1.57079632675     		φ = -0.74959066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68314876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.141541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74959066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.948381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79787 KachelY 82884 0.68314876 -0.74959066 39.141541 -42.948381
    Oben rechts KachelX + 1 79788 KachelY 82884 0.68319669 -0.74959066 39.144287 -42.948381
    Unten links KachelX 79787 KachelY + 1 82885 0.68314876 -0.74962575 39.141541 -42.950392
    Unten rechts KachelX + 1 79788 KachelY + 1 82885 0.68319669 -0.74962575 39.144287 -42.950392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74959066--0.74962575) × R
    3.50900000000154e-05 × 6371000     		dl = 223.558390000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74959066--0.74962575) × R
    3.50900000000154e-05 × 6371000     		dr = 223.558390000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68314876-0.68319669) × cos(-0.74959066) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.731967829575444 × 6371000     		do = 223.515182333988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68314876-0.68319669) × cos(-0.74962575) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.731943920932513 × 6371000     		du = 223.507881542249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74959066)-sin(-0.74962575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731967829575444-0.731943920932513)×R²
    abs(0.68319669-0.68314876)×2.39086429305591e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39086429305591e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39086429305591e-05×40589641000000     		ar = 49967.8782318218m²